Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 12 стр.

                                 ⎛ x1 ⎞     ⎛ x′1 ⎞
                                 ⎜ ⎟        ⎜ ⎟
                                 ⎜ x2 ⎟     ⎜ x′ 2 ⎟
                                 ⎜ ⎟    = C ⎜ ⎟.
                                   ...
                                 ⎜ ⎟        ⎜ ... ⎟
                                 ⎜ xn ⎟     ⎜ x′ n ⎟
                                 ⎝ ⎠        ⎝ ⎠
Это формулы замены координат векторов при переходе от базиса Б к ба-
зису Б′ . Обратной замене соответствует равенство
                                ⎛ x′1 ⎞         ⎛ x1 ⎞
                                ⎜ ⎟             ⎜ ⎟
                                ⎜ x′ 2 ⎟            2
                                             −1 ⎜ x ⎟
                                ⎜ ⎟      = C    ⎜ ⎟.
                                  ...
                                ⎜ ⎟             ⎜ ... ⎟
                                ⎜ x′ n ⎟        ⎜ xn ⎟
                                ⎝ ⎠             ⎝ ⎠

     1.5. ПОДПРОСТРАНСТВА, ОБОЛОЧКИ. Подмножество L1 век-
торов из L называется подпространством линейного пространства L ,
если относительно операций на L подмножество L1 является линейным
пространством. Обозначение L1 ≤ L указывает, что L1 есть подпростран-
                                r r              r     r              r
ство пространства L . Если a , b ∈ L1 , то a + b ∈ L1 и ta ∈ L1 , t ∈ R . Для
           r r       r                                    r       r       r   r
векторов a1 , a2 ,..., am из L1 также вектор t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am = b со-
                                                                             r
держится в L1 . Нулевое подпространство состоит из нулевого вектора o .
      Тривиальными подпространствами всякого линейного пространства
являются: нулевое пространство и само пространство.
                                    r r           r
      Пусть           векторы      a1 , a2 ,..., am     фиксированы в  L,
  r        r              r
t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am всевозможные линейные комбинации данных век-
торов. Множество указанных линейных комбинаций является подпро-
странством линейного пространства L , оно называется оболочкой или
                                      r r           r
линейной оболочкой векторов a1 , a2 ,..., am ; обозначение оболочки векто-
ров
                                     r r           r
                                     a1 , a2 ,..., am .
Размерность оболочки не превосходит m ; если данные векторы линейно
независимы, то размерность их оболочки равна m .
                                       r
      Всякий ненулевой вектор a порождает 1-мерную оболочку. Имеем:
                                    r       r
                                    a = {ta | t ∈ R},
                 r          r                                 r
т.е. оболочка a вектора a состоит из векторов ta для всех t ∈ R ; затем




                                         12