Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 14 стр.

     Зная, как заменяются координаты векторов при переходе от одного
базиса к другому, п. 1.4, можно получить формулы замены координат то-
чек при переходе от одного репера к другому. Если в репере B :
M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) и в репере B′ : M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , то
                      ⎛ x1 ⎞     ⎛ x′1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
                      ⎜ ⎟        ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
                      ⎜ x2 ⎟     ⎜ x′ 2 ⎟ ⎜ b 2 ⎟
                      ⎜ ⎟    = C ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟,
                        ...
                      ⎜ ⎟        ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟
                      ⎜ xn ⎟     ⎜ x′ n ⎟ ⎜ b n ⎟
                      ⎝ ⎠        ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
где C матрица замены базиса, O′ = (b1 , b 2 ,..., b n ) координаты в репере B
начала O′ репера B′ .

                               § 2. Прямые и плоскости.

      2.1. ПРЯМЫЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА. Прямая аффин-
ного пространства
          r          определяется точкой и ненулевым вектором. Пусть A
точка и m ненулевой вектор аффинного  r        пространства. Они задают пря-
мую, которая обозначается < A, m > . Точка M принадлежит прямой
     r                                                             r
< A, m > , если и только если вектор AM коллинеарен вектору m , а в этом
                r
случае AM = tm . Значит, прямая
                             r      есть множество
                                                r     точек
                        < A, m > = {m | AM = tm, t ∈ R}.
              r                                                          r
Оболочка < m > называется линейным пространством прямой < A, m >
                                             r
или направлением
           r        прямой,  векторы   из  < m  > называются векторами пря-
мой < A, m > . Прямая является 1-мерным аффинным пространством – 1-
мерным подпространством аффинного пространства.
      Справедливы следующие свойства. r                 r     r    r r
      2.1.1. СВОЙСТВО. Если B ∈ < A, m > и p ∈ < m > , p ≠ o , то
     r          r
< B, p > = < A, m > . #
      2.1.2. СВОЙСТВО. Всякие две различные точки определяют единст-
венную прямую. # Если это точки A и B то имеется прямая 〈 A, AB〉 .
      Прямые, имеющие общие ненулевые    r       векторы,
                                                     r     называются парал-
лельными. Параллельны прямые < A, m > и < B, m > .
      2.1.3. СВОЙСТВО. Через всякуюrточку B аффинного пространства      r
проходит единственная прямая < B, m > , параллельная прямой < A, m > .
#                    r
      Прямая < A, m > описывается линейными параметрическими урав-
нениями




                                               14