Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
111
a
t
m
x
+
=
,
222
a
t
m
x
+
=
,…,
nnn
a
t
m
x
+
=
,
где
),...,,(
21 n
aaaA =
,
),...,,(
21 n
mmmm =
r
и
),...,,(
21 n
xxxM =
– про-
извольная точка аффинного пространства. Всякие уравнения такого вида
задают прямую.
2.2. ПЛОСКОСТИ. Аффинная плоскость определяется точкой и двумя
неколлинеарными векторами. Обозначение такой плоскости, определяемой
точкой
A
и векторами
p
m
r
r
,
:
><
p
m
A
r
r
,,
. Точка
M
принадлежит плоско-
сти
><
p
m
A
rr
,,
, если и только если
2
),(, R∈+= vupvmuAM
r
r
. Множество
точек плоскости таково:
>
<
p
m
A
r
r
,, = }),(,|{
2
R∈+= vupvmuAMM
r
r
.
Оболочка ><
p
m
r
r
, называется линейным пространством плоскости
><
p
m
A
rr
,,
, векторы из
><
p
m
r
r
,
называются векторами плоскости
><
p
m
A
rr
,,
. Плоскость является 2-мерным аффинным пространством, 2-
мерным подпространством аффинного пространства.
Выполняются следующие свойства.
2.2.1. СВОЙСТВО. Если
∈
B
>
<
p
m
A
r
r
,, ;
∈
r
r
r
, >
<
p
m
r
r
, и векторы
r
rr
,
не коллинеарны, то >
<
r
B
rr
,,
= >
<
p
m
A
r
r
,, .#
2.2.2. СВОЙСТВО. Всякие две прямые плоскости либо не имеют
общих точек, либо имеют одну общую точку, либо совпадают. #
2.2.3. СВОЙСТВО. Если
〉
〈
∉
m
A
B
r
,
и
〉
〈
∉
mc
r
r
, то в плоскости
〉〈 cm
A
r
r
,,
прямые
>
<
m
A
r
,
и
〉〈 c
B
r
,
имеют единственную общую точку. #
2.2.4. СВОЙСТВО. В плоскости
〉
〈
A
Bm
A
,,
r
существует единствен-
ная прямая
〉〈 m
B
r
, , не пересекающая прямой >
<
m
A
r
, . #
Плоскости, имеющие общее линейное пространство, называются
параллельными. Параллельны плоскости
>
<
p
m
A
r
r
,, и >
<
p
m
B
r
r
,, .
2.2.5. СВОЙСТВО. Через всякую точку аффинного пространства
проходит единственная плоскость, параллельная данной плоскости. #
2.2.6.СВОЙСТВО. В 3-мерном аффинном пространстве непарал-
лельные плоскости имеют общую прямую. #
2.2.7. СВОЙСТВО. Через всякую прямую и точку вне ее проходит
единственная плоскость. #
2.2.8. СВОЙСТВО. Пусть
>
<
p
m
A
r
r
,, произвольная плоскость,
∈
B
>< pm
A
r
r
,,
,
∈
q
r
>< pm
r
r
,
. Прямая
>
<
q
B
r
,
аффинного пространства
лежит в плоскости
>
<
p
m
A
r
r
,,
. #
2.2.9. СВОЙСТВО. Через всякую точку
C
плоскости, содержащей
прямую
>< q
B
r
,
в плоскости проходит единственная прямая
>< q
C
r
,
, 
               x1 = m1t + a1 , x 2 = m 2t + a 2 ,…, x n = m n t + a n ,
                                r
где A = (a1 , a 2 ,..., a n ) , m = (m1 , m 2 ,..., m n ) и M = ( x1 , x 2 ,..., x n ) – про-
извольная точка аффинного пространства. Всякие уравнения такого вида
задают прямую.

     2.2. ПЛОСКОСТИ. Аффинная плоскость определяется точкой и двумя
неколлинеарными векторами.
                     r r Обозначение
                                 r r      такой плоскости, определяемой
точкой A и векторами m, p : < A, m, p > . Точка M принадлежит плоско-
           r r                                         r     r
сти < A, m, p > , если и только если AM = um + vp, (u , v) ∈ R 2 . Множество
точек плоскости таково:
                     r r                 r    r
                < A, m, p > = {M | AM = um + vp, (u , v) ∈ R 2 }.
               r r
Оболочка < m, p > называется линейным пространством плоскости
     r r                        r r
< A, m, p > , векторы из < m, p > называются векторами плоскости
     r r
< A, m, p > . Плоскость является 2-мерным аффинным пространством, 2-
мерным подпространством аффинного пространства.
       Выполняются следующие свойства.r r             r r   r r
       2.2.1. СВОЙСТВО. Если B ∈ < A, m, p > ; r , s ∈ < m, p > и векторы
r r                            r r            r r
r , s не коллинеарны, то < B, r , s > = < A, m, p > .#
       2.2.2. СВОЙСТВО. Всякие две прямые плоскости либо не имеют
общих точек, либо имеют одну общую точку, либо совпадают. #
                                             r       r    r
       2.2.3. СВОЙСТВО. Если B ∉ 〈 A, m〉 и c ∉ 〈 m〉 , то в плоскости
      r r               r          r
〈 A, m, c 〉 прямые < A, m > и 〈 B, c 〉 имеют единственную общую точку. #
                                               r
       2.2.4. СВОЙСТВО. В плоскости 〈 A, m, AB〉 существует единствен-
                  r                                    r
ная прямая 〈 B, m〉 , не пересекающая прямой < A, m > . #
       Плоскости, имеющие общее линейноеr пространство,
                                                     r        r rназываются
параллельными. Параллельны плоскости < A, m, p > и < B, m, p > .
       2.2.5. СВОЙСТВО. Через всякую точку аффинного пространства
проходит единственная плоскость, параллельная данной плоскости. #
       2.2.6.СВОЙСТВО. В 3-мерном аффинном пространстве непарал-
лельные плоскости имеют общую прямую. #
       2.2.7. СВОЙСТВО. Через всякую прямую и точку вне ее проходит
единственная плоскость. #                    r r
       2.2.8. СВОЙСТВО. Пусть < A, m, p > произвольная плоскость,
            r r     r    r r                     r
B ∈ < A, m, p > , q ∈ < m, p > . Прямая < B, q > аффинного пространства
                           r r
лежит в плоскости < A, m, p > . #
       2.2.9. СВОЙСТВО. Через всякую точку C плоскости, содержащей
                r                                                      r
прямую < B, q > в плоскости проходит единственная прямая < C , q > ,




                                             15

Страницы