Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 17 стр.

                             + : Ω×Ω → Ω.
Требуется выполнение следующих аксиом:
(г.1) операция + ассоциативна: (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) ;
(г.2) во множестве Ω существует элемент ϑ , что ω + ϑ = ω для всех
ω ∈ Ω . Элемент ϑ называется нулевым, он единственный в Ω ;
(г.3) для всякого элемента ω в Ω существует элемент υ , что ω + υ = ϑ .
Элемент υ называется противоположным для ω и обозначается − ω .
Пишем ω + (−υ ) = ω − υ .
       Множество Ω , на котором определена бинарная операция и выпол-
няются аксиомы (г.1) - (г.3), называется группой. Обозначение группы:
Ω = (Ω,+) или гр Ω = (Ω,+ ) .
       Если выполняется еще аксиома
(г.4) α + β = β + α ,
то группа (Ω,+ ) называется абелевой (коммутативной).

     3.2. ГРУППА ЛИ. Рассматривается дифференцируемое многообра-
зие Ω вместе с дифференцируемым класса C k отображением
                             Ω × Ω → Ω,
для которого выполняются аксиомы группы (г.1) – (г.3). Такое многообра-
зие называется группой Ли.

       3.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОЖЕСТВ. Пусть W произвольное
непустое множество, его элементы обозначаем A, B,..., M ,... . Взаимно од-
нозначное отображение множества W самого на себя называется пре-
образованием множества W . Обозначаем преобразования: α , β ,..., ω ,... .
       Преобразование ω множества W можно представить в виде множе-
ства пар элементов множества W : если ω : A → B ( A отображается на B
в преобразовании ω ), то ( A, B ) ∈ ω . Множество пар ω обладает свойст-
вами
(а) на первых местах в парах встречаются по одному разу все элементы
множества W ;
(б) на вторых местах в парах встречаются по одному разу все элементы из
множества W ;
(в) если ( A, B), ( A, C ) ∈ ω , то B = C ;
(г) если ( A, B), ( A, C ) ∈ ω , то A = C .
       Последовательное выполнение преобразований множества W назы-
вается их композицией, т.е. на множестве S (W ) всех преобразований
множества W задана операция – композиция преобразований. Компози-




                                   17