Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 18 стр.

цию преобразований будем записывать в виде суммы. Если α : A → B , то
пишем Aα = B . В сумме преобразований α + β сначала выполняется пре-
образование α , затем преобразование β .
       3.3.1. ТЕОРЕМА. Множество S (W ) преобразований множества
W является группой S (W ) =( S (W ) ,+).
       # Множество W обладает тождественным преобразованием ϑ , со-
стоящем из пар ( A, A) для всех A ∈ W . Если α произвольное преобразо-
вание и ( A, A' ) ∈ α , то α + ϑ : A → A′ → A′ , т.е. A(α + ϑ ) = A′ и
α +ϑ = ϑ +α = α .
       Для всякого преобразования α существует обратное. (Сохраняем
этот термин для группы преобразований, употребляя его вместо термина
противоположное преобразование.) Если преобразование α состоит из пар
( A, A′) , то преобразование − α состоит из пар ( A′, A) . Имеем
α + (−α ) : A → A′ → A , т.е. α + (−α ) = ϑ .
       Композиция преобразований ассоциативна. #
       В группе преобразований S (W ) могут существовать подгруппы пре-
образований – подмножества преобразований, также являющиеся группа-
ми относительно композиции преобразований.

      3.4. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Пусть B и B′ два репера
аффинного пространства A n . Преобразование α , отображающее всякую
точку M , имеющую в репере B координаты ( x1 , x 2 ,..., x n ) , на точку M ′ ,
имеющую координаты ( x1 , x 2 ,..., x n ) в репере B′ , называется аффинным
преобразованием аффинного пространства A n . Координаты точки M ′ в
репере B обозначим M ′ = ( x′1 , x′2 ,..., x′n ) . Выполняется Mα = M ′ . Фор-
мулы преобразования α в репере B имеют вид:
                       ⎧ x′1 = a11 x1 + a12 x 2 + a1n x n + a1 ,
                       ⎪ 2
                       ⎪ x′ = a12 x1 + a22 x 2 + an2 x n + a 2 ,
(3.4.1)                ⎨
                       ⎪................................................
                       ⎪ x′n = a n x1 + a n x 2 + a n x n + a n .
                       ⎩           1           2           n
Коэффициенты a ij ∈ R , они составляют матрицу (a i j ) аффинного преоб-
разования, det(a ij ) ≠ 0 , это неособые матрицы. Формулы аффинного преоб-
разования линейны. Матрица аффинного преобразования записывается
так:




                                            18