Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 20 стр.

                            ⎛ 1 0 0 ... 0 ⎞
                            ⎜ 1                    ⎟
                            ⎜ a 1 0 ... 0 ⎟
                            ⎜ a 2 0 1 ... 0 ⎟
                            ⎜                      ⎟
                            ⎜ ... ... ... ... ... ⎟
                            ⎜ a n 0 0 ... 1 ⎟
                            ⎝                      ⎠
                          1     2     n
ей соответствует вектор (a , a ,..., a ) . Т. е. Матрицы-векторы составляют
n -мерное линейное пространство. Матрица
                             ⎛ k 0 0 ... 0 ⎞
                             ⎜                     ⎟
                             ⎜ 0 k 0 ... 0 ⎟
                             ⎜ 0 0 k ... 0 ⎟
                             ⎜                     ⎟
                             ⎜ ... ... ... ... ... ⎟
                             ⎜ 0 0 0 ... k ⎟
                             ⎝                     ⎠
соответствует аффинному преобразованию
                  x ′1 = kx1 , x ′ 2 = kx 2 ,..., x ′ n = kx n , k ≠ 0, k ≠ 1 ,
которое называется гомотетией. Такие матрицы называются скалярны-
ми. Преобразования
                  x′1 = kx1 + a1 , x′ 2 = kx 2 + a 2 ,..., x ′ n = kx n + a n
образуют группу гомотетий и параллельных переносов аффинного про-
странства. Эта группа называется основной аффинной. Матрицы этих пре-
образований
                                 ⎛1       0   0 ... 0 ⎞
                                 ⎜ 1                     ⎟
                                 ⎜a      k 0 ... 0 ⎟
                                 ⎜ a2     0 k ... 0 ⎟ .
                                 ⎜                       ⎟
                                 ⎜ ...   ... ... ... ... ⎟
                                 ⎜ an     0 0 ... k ⎟⎠
                                 ⎝

      3.5. КОЛЛИНЕАЦИИ. Существует другой подход к определению
аффинного преобразования аффинного пространства; подход, эквивалент-
ный рассмотренному.
      Аффинным преобразованием аффинного пространства называется
его коллинеация, т.е. преобразование, в котором всякие три коллинеарные
точки (точки одной прямой) отображаются на три коллинеарные точки од-
ной прямой. Следовательно, в аффинном преобразовании всякая прямая
отображается на прямую, различные прямые отображаются на различные
прямые.
      Аффинное преобразование параллельный перенос отображает на
параллельный перенос. Это означает следующее. Пусть параллельный пе-




                                              20