Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 22 стр.

Преобразование τ a есть множество пар точек ( M , M ′) , удовлетворя.щих
условию                              r
                              MM ′ = a .
Матрицу этого преобразования запишем в блочном виде
                          ⎛1       0     0 ... 0 ⎞
                          ⎜ 1                       ⎟
                          ⎜a       1     0 ... 0 ⎟
                          ⎜ a2                        ⎛1    0⎞
                                   0    1 ... 0 ⎟ = ⎜⎜         ⎟.
                          ⎜                         ⎟   a   E ⎟⎠
                          ⎜ ...   ...   ... ... ... ⎟ ⎝
                          ⎜ an     0     0 ... 1 ⎟⎠
                          ⎝
Сумма преобразований τ a + τ b есть преобразование τ a + b ,
                         ⎛1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1    0⎞
                         ⎜⎜   ⎟⎟ ⎜⎜  ⎟⎟ = ⎜⎜    ⎟⎟ ,
                         ⎝a E ⎠ ⎝b E ⎠ ⎝a + b E ⎠
и по аксиоме (В.2), τ a + b соответствует этой сумме. Множество T всех
                     r
преобразований τ a , a ∈ Ln , составляет группу (T ,+ ) , изоморфную группе
                                          (Ln ,+ ) .
                  r точку A и число k ≠ 0 . Пусть M любая точка.
    (2) Зафиксируем
Существует вектор a = AM и существует точка M ′ , что AM ′ = kAM .
                             k
Определено преобразование γ A   аффинного пространства, в котором
M → M ′ , точка A неподвижна и M ′ ∈< A, AM > . Это гомотетия аф-
финного пространства с центром A и коэффициентом k – каноническое
преобразование аффинного пространства A n .
      Канонические преобразования, т.е. параллельные переносы и гомо-
тетии аффинного пространства являются аффинными преобразованиями.
                 k
     Гомотетия γ A   есть множество пар точек ( M , M ′) , для которых
AM ′ = kAM . Формулы гомотетии
                x′1 = kx1 , x′ 2 = kx 2 ,..., x′ n = kx n , k ≠ 0, k ≠ 1 ,
матрица:
                         ⎛1       0   0 ... 0 ⎞
                         ⎜                       ⎟
                         ⎜0       k 0 ... 0 ⎟
                         ⎜0                        ⎛1 0⎞
                                  0 k ... 0 ⎟ = ⎜⎜        ⎟.
                         ⎜                       ⎟ ⎝ 0 k ⎟⎠
                         ⎜ ...    ... ... ... ...⎟
                         ⎜0       0 0 ... k ⎟⎠
                         ⎝
                  k
Сумма гомотетий γ A + γ Am есть гомотетия γ Akm :




                                             22