Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 23 стр.

                         ⎛1 0⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞
                        ⎜⎜     ⎟⎟ ⎜⎜   ⎟⎟ = ⎜⎜  ⎟⎟ .
                         ⎝ 0 k ⎠ ⎝ 0 m ⎠ ⎝ 0 km ⎠
                     k
Применим гомотетию γ A к параллельному переносу τ a :
                                      1
                               k
(3.6.1)       −γ  k
                  A   + τa + γ A =   γ + τ a + γ Ak = k τ a = τ ka ,
                                      k
                                      A
или в матричной записи:
                   ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛⎜ 1        0 ⎞ ⎛1 0 ⎞
                  ⎜⎜     ⎟⎟ ⎜⎜   ⎟⎟            1 ⎟ = ⎜⎜    ⎟.
                   ⎝ 0 k ⎠ ⎝ a E ⎠ ⎜⎝ 0          ⎟ ⎝ 0 ka ⎟⎠
                                               k⎠
                                                   k
     Преобразования аффинного пространства τ a и γ A порождают груп-
                                                                 k
пу P = ΓAΤ , она состоит из аффинных преобразований вида τ a + γ A , это
гомотетии аффинного пространства, матрицы этих гомотетий
                                     ⎛ 1 0⎞
                                     ⎜⎜   ⎟⎟ .
                                     ⎝a k⎠
Сумма таких преобразований определяется матрицей
                         ⎛ 1 0⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ 1         0 ⎞
(3.6.2)                  ⎜⎜    ⎟⎟ ⎜⎜   ⎟⎟ = ⎜⎜       ⎟⎟
                         ⎝ a k ⎠ ⎝ b m ⎠ ⎝ a + kb km ⎠
                                        k
и является преобразованием вида τ a + γ A .
      Тем самым, канонические преобразования аффинного пространства
не составляют, но образуют группу (P,+ ) относительно композиции пре-
образований – это группа параллельных переносов и гомотетий аффинного
пространства – она называется основной аффинной группой.
      Согласно равенствам (3.5.1), подгруппа Τ параллельных переносов
является инвариантной в группе канонических преобразований P , более
того, имеем полупрямую сумму P = Τ ┤ ΓA . Равенства (3.6.1) определяют
произведение параллельного переноса τ a на число k . Определим произве-
дение гомотетии на число
                                               t
                                 t γ Ak = γ Ak .
Мы получили 1-мерное линейное пространство гомотетий ΓA =
(ΓA ,+, ω R (+ )) . Доказана
      3.6.1. ТЕРЕМА. Множество канонических преобразований аффин-
ного пространства A n является полупрямой суммой P = Τ ┤ ΓA n -
мерного линейного пространства Τ параллельных переносов и 1-мерного
линейного пространства гомотетий ΓA . #




                                          23