Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 25 стр.

подобна матрице a , здесь c матрица замены базиса линейного простран-
ства плоскости. Матрица a может иметь 0,1 или 2 собственных значений
и поэтому эквивалентна одной из матриц
          o          ⎛ cos ϕ   sin ϕ ⎞ 1        ⎛1 h⎞      2         ⎛ chϕ   shϕ ⎞
              a = r ⎜⎜               ⎟⎟ , a = r ⎜⎜  ⎟⎟ ,       a = r ⎜⎜           ⎟.
                     ⎝ sin ϕ   cos ϕ ⎠          ⎝0 1⎠                ⎝ shϕ   chϕ ⎟⎠
Эти      матрицы     представляют соответственно комплексные числа
z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , i 2 = −1, дуальные числа z = r (1 + ih) , i 2 = 0 , двой-
ные числа z = r (chϕ + ishϕ ) , i 2 = 1. Рассмотрим 2-мерные числа, модуль
которых равен 1: r = 1 . По умножению числа каждого вида составляют
абелеву группу – это мультипликативные группы соответственно ком-
плексных чисел −1 C1 , дуальных чисел 0 C1 , двойных чисел 1 C1 . Указан-
ные группы не содержат делителей нуля. Определим на этих группах
внешние операции возведения в действительную степень:
        z t = cos ϕt + i sin ϕt , z t = 1 + iht , z t = chϕt + ishϕt ; t ∈ R .
Для этой операции выполняются аксиомы (L.5) – (L.10) линейного про-
странства (п. 1.3) и мы имеем мультипликативные линейные пространства
комплексных чисел ( −1 C1 , ⋅,ω R (⋅) ), дуальных чисел ( 0 C1 , ⋅,ω R (⋅) ), двойных
чисел ( 1 C1 , ⋅,ω R (⋅) ), модуль которых равен 1, [8, 9]. Линейное пространство
−1
     C1 компактно, линейное пространство 1 C1 некомпактно, это 2-мерные
линейные пространства над полем R, они не изоморфны, вопреки распро-
страненному мнению, что линейные пространства одной размерности над
одним полем изоморфны, см., например, [10], а также [11].
       Преобразования, матрицы которых содержат основной блок вида 0 a ,
r = 1 , являются движениями евклидовой плоскости; если содержат блок
вида 1 a , r = 1 , то являются движениями галилеевой плоскости; если со-
держат 2 a , r = 1 , то являются движениями псевдоевклидовой плоскости;
причем, последние преобразования содержат и преобразования из основ-
ной аффинной группы, их матрицы
                                       ⎛1     0 0⎞
                                       ⎜ 1         ⎟
                                       ⎜b     k 0⎟.
                                       ⎜ b2   0 k ⎟⎠
                                       ⎝




                                              25