Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

26
Глава 2.
Основные понятия евклидовой геометрии
§ 4. Пространства со скалярным произведением
4.1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Рассматривает-
ся линейное пространство
n
L над полем R и задано отображение
RLL →×
nn
:
μ
.
В этом отображении каждой паре
),( ba
r
r
векторов
a
r
и b
r
ставится в соот-
ветствие действительное число, обозначаемое
ba
r
r
baba
r
r
r
r
→),(:
μ
,
называемое скалярным произведением векторов
a
r
и
b
r
, если выполняются
аксиомы
(с.1)
abba
r
rr
r
=
;
(c.2)
)()( batbat
r
r
r
r
= ;
(c.3)
cbcacba
r
r
r
r
r
r
r
+=+ )(
.
Линейное пространство
n
L
со скалярным произведением векторов называ-
ется векторным или евклидовым пространством и обозначается
n
V
.
В
n
V выбираем базис Б = ),...,,(
21 n
eee
r
r
r
, обозначим
),...,,(
21 n
aaaa =
r
,
),...,,(
21 n
bbbb =
r
. На основании аксиом скалярного
произведения векторов получаем
∑
=
=
n
i
ji
ji
eebaba
1
rr
r
r
. Обозначим:
ijji
gee =
r
r
,
тогда
∑
=
=
n
i
ji
ij
bagba
1
r
r
=
ji
ij
bag
.
Числа
ij
g
составляют симметричную матрицу Грамма
)(
ij
gG =
,
jiij
gg =
. Таким образом, скалярное произведение векторов представлено
симметрической билинейной формой. Скалярное произведение векторов
из
n
V
записываем в виде
(
n
V ,
n
V ) = (
ij
g
). 
                                              Глава 2.
               Основные понятия евклидовой геометрии

                   § 4. Пространства со скалярным произведением

      4.1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Рассматривает-
ся линейное пространство Ln над полем R и задано отображение
                           μ : Ln × Ln → R .
                                                r r                     r       r
В этом отображении каждой паре (a , b ) векторов a и b ставится в соот-
                                                               rr
ветствие действительное число, обозначаемое ab
                                 r r       rr
                            μ : (a , b ) → ab ,
                                                                    r       r
называемое скалярным произведением векторов a и b , если выполняются
аксиомы
      rr rr
(с.1) ab = b a ;
        r r       rr
(c.2) (ta )b = t (ab ) ;
        r      r r    rr   rr
(c.3) ( a + b )c = ac + b c .
Линейное пространство Ln со скалярным произведением векторов называ-
ется векторным или евклидовым пространством и обозначается V n .
                                            r r           r
      В    Vn    выбираем     базис    Б = (e1 , e2 ,..., en ) , обозначим
r                           r
a = (a1 , a 2 ,..., a n ) , b = (b1 , b 2 ,..., b n ) . На основании аксиом скалярного
                                                 rr n         rr             rr
произведения векторов получаем ab = ∑ a i b j ei e j . Обозначим: ei e j = g ij ,
                                                      i =1
тогда
                                rr n
                                ab = ∑ g ij a i b j = g ij a i b j .
                                       i =1
Числа       g ij   составляют симметричную матрицу Грамма                           G = ( g ij ) ,
g ij = g ji . Таким образом, скалярное произведение векторов представлено
симметрической билинейной формой. Скалярное произведение векторов
из V n записываем в виде
                         ( V n , V n ) = ( g ij ).




                                                26

Страницы