Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 28 стр.

                  r                                                 r        r       r
        Вектор a называется изотропным, если a ≠ o и a =0. Евклидово
пространство не содержит изотропных векторов.
        Норма векторов псевдоевклидова пространства называется псевдо-
евклидовой или лоренцевой. В псевдоевклидовом пространстве содержат-
ся изотропные векторы, это ненулевые векторы со свойством
(a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a p ) 2 = (a p +1 ) 2 + ... + (a p + q ) 2 . Неравенство треуголь-
ника здесь не выполняется.
        Для пространства с полуевклидовой нормой свойства (1) и (2) евкли-
довой нормы не выполняются.
        Некоторые нормы на векторах рассмотрены немного подробнее ни-
же.

      4.3. ЕВКЛИДОВО (СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВО) СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. В n − мерном линейном пространстве
                                            r
Ln , совпадающем с Rn рассматриваем векторы a = (a1 , a 2 ,..., a n ) и
r
b = (b1 , b 2 ,..., b n ) . В базисе, в котором заданы векторы, определим скаляр-
ное произведение векторов равенством
                     rr
                     ab = a1b1 + a 2 b 2 + ... + a n b n .
Это скалярное произведение векторов сигнатуры (n,0) дефекта 0. После
введения скалярного произведения векторов линейное пространство Ln
превратилось в векторное пространство V n . Согласно п. 4.2, оно называ-
ется евклидовым или собственно евклидовым.
                                 r           r
      Евклидов скалярный квадрат x 2 вектора x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) равен
                            r
                            x 2 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ... + ( x n ) 2 .
       Свойства евклидова скалярного квадрата векторов:
                          r                                r
(а) для всякого вектора x скалярный квадрат неотрицателен: x 2 ≥ 0 ; при-
     r                           r r
чем x 2 = 0, если и только если xr = or.
(б)    для любых векторов x , y выполняется неравенство Коши-
Буняковского
                                 rr      r r
                               ( xy) 2 ≤ x 2 y 2 .
                           r                r
Евклидовой нормой x вектора x называется
                      r        r
                      x =      x2 =       ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ... + ( x n ) 2 .
Свойство (б) превращается в
                                           rr    r r
                                         | xy |≤ x y .
На его основе определяется угол между векторами




                                                28