Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 27 стр.

Всякая симметрическая билинейная форма в некотором базисе определяет
скалярное произведение векторов пространства V n . Заменяя базис вектор-
ного пространства, получаем, в некотором базисе, скалярное произведение
векторов в виде произведения соответствующих координат
            rr
(4.1.1)     ab = a1b1 + a 2b 2 + ... + a p b p − a p +1b p +1 − ... − a p + q b p + q ,
 p > 0, p + q ≤ n . Сигнатура ( p, q) скалярного произведения не зависит
от выбора базиса. Число d = n − p − q называется дефектом скалярного
произведения векторов.
   (1) Если p = n , то пространство V n называется евклидовым или соб-
        ственно евклидовым;
   (2) если p + q = n, q ≠ 0, то пространство V n называется псевдоевкли-
        довым индекса q ;
   (3) если 0 < d < n , то V n есть пространство с дефектом или полу-
       евклидово пространство дефекта d .
      Скалярное произведение векторов пространства Ln может быть за-
дано в некотором базисе матрицей Грамма или равенством (4.1.1).
                 r r
      Векторы a , b называются перпендикулярными (ортогональными),
       rr                                                                r    r
если ab = 0 . Обозначение перпендикулярности векторов a ⊥ b .

     4.2. НОРМА ВЕКТОРОВ. Если в скалярном произведении векторов
сомножители совпадают, то имеется скалярный квадрат вектора
                                r r       r
                           μ : (a , a ) → a 2 .
В подходящем базисе пространства V n :
        r
        a 2 = (a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a p ) 2 − (a p +1 ) 2 − ... − (a p + q ) 2 .
        r             r
Нормой a вектора a называется
      r    r
     a = a 2 = (a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a p ) 2 − (a p +1 ) 2 − ... − (a p + q ) 2 .
Этим на векторном пространстве V n введена норма или метрика.
      Норма векторов называется евклидовой при n = p . Она обладает
свойствами
              r
   (1) число a является действительным неотрицательным для всякого
       r            r                       r r
       a ∈ Vn ,     a =0 если и только если a = o .
        r r          r r
   (2) a + b ≤      a + b – неравенство треугольника.




                                             27