Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 29 стр.

                                          rr
                                          xy
                              ϕ = arccos r r .
                                         x y
Справедливо неравенство треугольника
                               r     r      r    r
                            || x +   y || ≤ x + y
                              r      r             r r     2     r2 r    2
для произвольных векторов x и        y . Равенство x + y       = x + y       выпол-
                           r r
няется, если и только если x ⊥y .

      4.4. ПСЕВДОЕВКЛИДОВО СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ. Рассматривается 4-мерное линейное пространство L4 , сов-
падающее с R 4 , т.е. векторами являются четверки действительных чисел.
Записываем векторы в виде
                             r
                             x = ( x , x1 , x 2 , x 3 ) .
                                                          r r r r
Псевдоевклидовым скалярным произведением x y векторов x и y назы-
вается число
                       r r
                       x y = xy − x1 y1 − x 2 y 2 − x 3 y 3 .
Это скалярное произведение векторов сигнатуры (1,3) дефекта 0, здесь од-
но слагаемое – первое, взято со своим знаком, остальные три слагаемых
взято с противоположными знаками. Например, для векторов
 r                   r                                            rr
a = (−1,2,−3,1) и b = (1,1,1,−2) по определению имеем ab =
−1− 2 + 3 + 2 = 2 .
      После введения скалярного произведения векторов линейное про-
странство превратилось в векторное пространство. При таком определении
скалярного произведения векторов, векторное пространство называется
псевдоевклидовым сигнатуры (1,3); его обозначение V(41,3) .
                                             r                 r
      Псевдоевклидов скалярный квадрат x 2 вектора x равен
                       r
                      x 2 = x 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 .
Свойства псевдоевклидова скалярного квадрата векторов:
(а) существуют векторы, скалярный квадрат которых положителен; на-
пример, векторы (a,0,0,0) ;
(б) существуют векторы, скалярный квадрат которых отрицателен; напри-
мер, векторы (0, a,0,0) ;
(в) существуют ненулевые векторы, скалярный квадрат которых равен ну-
лю; например, векторы (a,0, a,0) .
      Ненулевые векторы, скалярный квадрат которых равен нулю, назы-
вается изотропными или световыми. Сумма изотропных векторов не




                                       29