Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

30
всегда изотропный вектор, например
)0,0,,( aa
+
)0,,0,( bb
=
)0,,,( baba +
,
здесь
0)(
222
≠−−+ baba
. 1-мерная оболочка 〉
〈
a
r
изотропного вектора
состоит из изотропных векторов.
Векторы
)0,0,0,(
x
называются времениподобными, векторы
),,,0(
321
xxx называются пространственноподобными. Псевдоевклидов
вектор распадается на времениподобную и пространственноподобную со-
ставляющие
),,,(
321
xxxx
= )0,0,0,(
x
+
),,,0(
321
xxx
.
Псевдоевклидово пространство является прямой суммой двух евклидовых
пространств
4
)3,1(
V =
1
V
+
3
V
,
первое слагаемое времениподобное, второе – пространственноподобное.
Псевдоевклидовой нормой
x
r
вектора
x
r
называется
x
r
=
2
x
r
=
2322212
)()()( xxxx −−−
.
Согласно свойствам псевдоевклидова скалярного квадрата векторов, суще-
ствуют векторы: (а) имеющие действительную норму, т.е. векторы, нор-
мой которых являются положительные действительные числа; (б) имею-
щие мнимую норму; (в) ненулевые векторы, имеющие нулевую норму.
Неравенство треугольника в псевдоевклидовом пространстве не вы-
полняется. Например, для векторов
1
a
r
=
)0,0,,( aa
и
2
a
r
=
)0,0,,( aa −
при
0≠a
:
0
1
=a
r
,
0
2
=
a
r
;
1
a
r
+
2
a
r
=
)0,0,0,2( a
и
0||2
21
≠
=
+
aaa
r
r
. Полу-
чаем
21
aa
rr
+
>
2
a
r
+
2
a
r
.
Псевдоевклидово векторное пространство используется в теории от-
носительности А. Эйнштейна.
4.5. ГАЛИЛЕЕВО СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
На линейном пространстве
n
L
над R может быть введено и скалярное
произведение векторов, отличное от рассмотренных выше, в п. 4.1.
Рассмотрим прямое разложение линейного пространства
n
L
=
1
L
+
1−n
L
,
1>n
.
В каждом из пространств
1
L
,
1−n
L
задано евклидово скалярное произведе-
ние векторов:
oo
ba
r
r
для
∈
oo
ba
r
r
,
1
L
и
11
ba
r
r
для
∈
11
,ba
r
r
1−n
L
. Пусть
∈ba
r
r
,
n
L
,
1
aaa
o
r
r
r
+
=
,
1
bbb
o
r
r
r
+
=
. Скалярное произведение векторов
ba
r
r
,
определим следующим образом: 
всегда изотропный вектор, например (a, a,0,0) + (b,0, b,0) = (a + b, a, b,0) ,
                                                              r
здесь (a + b) 2 − a 2 − b 2 ≠ 0 . 1-мерная оболочка 〈a 〉 изотропного вектора
состоит из изотропных векторов.
      Векторы (x,0,0,0) называются времениподобными, векторы
(0, x1 , x 2 , x 3 ) называются пространственноподобными. Псевдоевклидов
вектор распадается на времениподобную и пространственноподобную со-
ставляющие
                ( x, x1 , x 2 , x 3 ) = ( x,0,0,0) + (0, x1 , x 2 , x 3 ) .
Псевдоевклидово пространство является прямой суммой двух евклидовых
пространств
                                     V(41,3) = V 1 + V 3 ,
первое слагаемое времениподобное, второе – пространственноподобное.
                               r            r
     Псевдоевклидовой нормой x вектора x называется
                   r      r
                   x =    x2 =    x 2 − ( x1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 .
Согласно свойствам псевдоевклидова скалярного квадрата векторов, суще-
ствуют векторы: (а) имеющие действительную норму, т.е. векторы, нор-
мой которых являются положительные действительные числа; (б) имею-
щие мнимую норму; (в) ненулевые векторы, имеющие нулевую норму.
     Неравенство треугольника в псевдоевклидовом пространстве не вы-
                                  r                 r
полняется. Например, для векторов a1 = (a, a,0,0) и a 2 = (a,− a,0,0) при
        r        r          r r                   r r
a ≠ 0 : a1 = 0 , a 2 = 0 ; a1 + a2 = (2a,0,0,0) и a1 + a 2 = 2 | a |≠ 0 . Полу-
       r r         r      r
чаем a1 + a 2 > a2 + a2 .
     Псевдоевклидово векторное пространство используется в теории от-
носительности А. Эйнштейна.

     4.5. ГАЛИЛЕЕВО СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
На линейном пространстве Ln над R может быть введено и скалярное
произведение векторов, отличное от рассмотренных выше, в п. 4.1.
     Рассмотрим прямое разложение линейного пространства
                                Ln = L1 + Ln −1 , n > 1 .
В каждом из пространств L1 , Ln −1 задано евклидово скалярное произведе-
                  r r            r r               r r       r r
ние векторов: a o b o для a o , b o ∈ L1 и a1b 1 для a1 , b 1 ∈ Ln −1 . Пусть
r r          r r       r r r          r                                     r r
a , b ∈ Ln , a = a o + a1 , b = b o + b 1 . Скалярное произведение векторов a , b
определим следующим образом:




                                        30

Страницы