Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 32 стр.

 ( VΓn , VΓn ) = (( g ij ), ( g ij′ )); где g11 = 1 , g ij = 0 , i, j > 1; g ii = 1, g ij = 0, i ≠ j ;
и двумя равенствами вида (4.1.1): первое дефекта n − 1 , второе – дефекта
1.
         По определению галилеева скалярного произведения на VΓn , на каж-
                                            r                     r       r
дом из подпространств V1 = < e > и V n −1 = < e1 ,..., en −1 > задано собст-
венно евклидово скалярное произведение векторов.

      Галилеево скалярное произведение векторов тоже принято относить
к евклидовым.
      В книге В.И. Арнольда [12] по классической механике рассматрива-
ется галилеево векторное пространство и точечное галилеево пространст-
во, построенное на основе аффинного пространства. Определена галилеева
норма векторов и галилеево расстояние между точками, но не определено
галилеево скалярное произведение векторов, как и во всех работах, где го-
ворится о галилеевом расстоянии между точками. Галилеево скалярное
произведение векторов определено в [13], но основа галилеева скалярного
произведения выявлена выше, в настоящем пункте. И эта основа состоит в
том, что галилеево скалярное произведение векторов задается двумя мат-
рицами Грама, а не одной, как все другие евклидовы скалярные произве-
дения векторов. Галилеево расстояние между точками определяется через
скалярное произведение векторов.
      В [12, с. 17] установлена изотропность галилеева пространства; изо-
тропность понимается в смысле однородности пространства; в про-
странстве не выделяется никакого направления: свойства галилеева про-
странства во всех направлениях одинаковы. Имеется и другой смысл тер-
мина «изотропность»: вектор называется изотропным, если он не нуле-
вой, но модуль его равен нулю (об этом в следующем пункте). Отсутст-
вие изотропных векторов в галилеевом пространстве говорит об одно-
родности этого пространства.

      4.6. ГАЛИЛЕЕВА НОРМА ВЕКТОРОВ. Если в галилеевом ска-
                                      r r
лярном произведении векторов a = b , то имеем галилеев скалярный квад-
рат вектора
     r                        r
     a 2 = a 2 , если a ≠ 0 ; a 2 = (a1 ) 2 + (a 2 ) 2 + ... + (a n −1 ) 2 , если a = 0 .
                                  r
Галилеевой нормой вектора a называется
                                             r   r
                                             a = a2 ;
   r                    r   r
   a = a , если a ≠ 0 ; a = a 2 = (a1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ... + (a n −1 ) 2 , если a = 0 .




                                                 32