Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 33 стр.

Для галилеевой нормы выполняется свойство (1) из п. 3.2, галилеево про-
странство не содержит изотропных векторов. Неравенство треугольника
для галилеева скалярного квадрата векторов не выполняется.
              r
      Вектор a = (a, a1 ,..., a n −1 ) галилеева пространства называется гали-
                r
леевым, вектор a = (0, a1 ,..., a n −1 ) называется евклидовым. Евклидовы век-
торы составляют (n − 1) − мерное собственноевклидово пространство
V n −1 . Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову векто-
ру. Галилеево пространство VΓn распадается в прямую сумму 1-мерного и
(n − 1) − мерного евклидовых пространств:
                               VΓn = V1 + V n −1 .
Евклидово пространство V n имеет такое же разложение V n = V1 + V n −1 ,
но в галилеевом случае разложение инвариантно относительно галилеева
скалярного произведения векторов п. 4.5, а в евклидовом случае – не инва-
риантно.
                    r
      Всякий вектор v из VΓn = V1 + V n −1 записывается в виде разложения
                r r r r             r        r                r
                v = t + r = te + r 1e1 + r 2 e2 + ... + r n −1en −1 ;
                 r
первое слагаемое t времениподобно, второе – пространственноподобно.
Учитывая равномерность r r течения времени, можно считать, что для изме-
няющегося вектора v = v (t ) всегда времениподобная составляющая есть
r r          r
t = te , где e задает масштаб измерения времени. Но возможно рассматри-
вать и некоторую функцию времени, т.е. выбирать некоторые моменты
времени через некоторые промежутки времени, не обязательно одинако-
вые. Этот выбор может быть дискретным или непрерывным. Например, в
физике такой прием не используется в описании движений реальных объ-
ектов; но наблюдения за объектами можно вести в различных режимах
времени. Размерность пространственноподобной составляющей не обяза-
тельна равна 3, в приложениях рассматриваются и другие размерности,
см., например, [12, c. 26 и далее].

     4.7. НОРМА (МЕТРИКА) НА МНОЖЕСТВЕ. На произвольном
множестве М действительная норма (метрика) определяется заданием
отображения
                                M×M → R
с указанием его свойств, [14]. Еще до недавнего времени под нормой по-
нималась только евклидова норма или близкая к ней, т.е. метрики со свой-
ствами, обобщающими (1) и (2) из п. 4.2; сейчас отношение к этому поня-
тию изменилось. На множествах (возможно с некоторой структурой – ал-




                                      33