Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

35
функции
)(
x
f
y = , где
R
∈y
x
, . Вектор
t
r
Δ
Δ
r
=
r
t
r
Δ
Δ
1
получается в резуль-
тате двух операций:
r
r
Δ есть разность )()(
t
r
t
t
r
r
r
−
+
, и производится ум-
ножение вектора
r
r
на число
t
1
. Во всех рассматриваемых векторных
пространствах определяем
)(
t
r
′
r
=
0
lim
→Δt
r
t
r
Δ
Δ
1
,
предел вектора
r
t
r
Δ
1
вычисляется покомпонентно.
Для функций нескольких параметров аналогично определяются ча-
стные производные
u
vur
r
u
∂
∂
=
),(
r
r
,
v
vur
r
v
∂
∂
=
),(
r
r
; а также производные
высших порядков. Оказывается, что совпадают смешанные частные произ-
водные
vu
vur
∂
∂
∂ ),(
2
r
=
uv
vur
∂
∂
∂ ),(
2
r
, т.е.
uv
r
r
=
vu
r
r
,
и вообще результат дифференцирования по различным параметрам не за-
висит от порядка нахождения производных по этим параметрам.
§ 6. Евклидовы точечные пространства
6.1. ПОЛУЧЕНИЕ ЕВКЛИДОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПРО-
СТРАНСТВ. В линейном пространстве
n
L
аффинного пространства
n
A
может быть введено скалярное произведение векторов. Аффинное про-
странство
n
A
при этом превращается в евклидово пространство; получа-
ется собственно евклидово пространство
n
E
, псевдоевклидово простран-
ство
n
q
E
и т.д.; галилеево пространство
n
Γ
. Расстояние между точками
||
A
B определяется через скалярный квадрат вектора
||
A
B
=
2
A
B
.
Прямые, плоскости,
−
k
плоскости аффинного пространства стано-
вятся прямыми, плоскостями,
−
k
плоскостями евклидовых пространств. В
псевдоевклидовых пространствах существуют изотропные прямые, рас-
стояния между любыми точками которых равны нулю. В псевдоевклидо-
                                              r
                                             Δr 1 r
функции y = f ( x) , где x, y ∈ R . Вектор      = Δr получается в резуль-
                       r                  r  Δt  Δt r
тате двух операций: Δr есть разность r (t + Δt ) − r (t ) , и производится ум-
                     r             1
ножение вектора Δr на число           . Во всех рассматриваемых векторных
                                   Δt
пространствах определяем
                               r               1 r
                               r ′(t ) = lim      Δr ,
                                        Δt → 0 Δt
                 1 r
предел вектора      Δr вычисляется покомпонентно.
                 Δt
      Для функций нескольких параметров аналогично определяются ча-
                       r             r
                  r ∂r (u , v) r ∂r (u , v)
стные производные ru =        , rv =        ; а также производные
                         ∂u            ∂v
высших порядков. Оказывается, что совпадают смешанные частные произ-
водные
                         r             r
                     ∂ 2 r (u , v) ∂ 2 r (u , v)        r r
                                  =              , т.е. ruv = rvu ,
                        ∂u∂v          ∂v∂u
и вообще результат дифференцирования по различным параметрам не за-
висит от порядка нахождения производных по этим параметрам.


                 § 6. Евклидовы точечные пространства

      6.1. ПОЛУЧЕНИЕ ЕВКЛИДОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПРО-
СТРАНСТВ. В линейном пространстве Ln аффинного пространства A n
может быть введено скалярное произведение векторов. Аффинное про-
странство A n при этом превращается в евклидово пространство; получа-
ется собственно евклидово пространство E n , псевдоевклидово простран-
ство E nq и т.д.; галилеево пространство Γ n . Расстояние между точками
| AB | определяется через скалярный квадрат вектора
                            | AB | = AB 2 .
      Прямые, плоскости, k − плоскости аффинного пространства стано-
вятся прямыми, плоскостями, k − плоскостями евклидовых пространств. В
псевдоевклидовых пространствах существуют изотропные прямые, рас-
стояния между любыми точками которых равны нулю. В псевдоевклидо-




                                          35

Страницы