Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

37
Скалярное произведение векторов
x
r
=
),,(
321
xxx
,
y
r
=
),,(
321
yyy
определяем равенством, п. 4.3,
x
r
y
r
=
332211
yxyxyx ++
,
скалярный квадрат вектора
x
r
равен
2
x
r
=
232221
)()()( xxx ++
и длина вектора
x
r
есть
x
r
=
232221
)()()( xxx ++
.
Вектор векторного произведения
y
x
r
r
×
векторов
x
r
и y
r
перпендику-
лярен векторам сомножителям,
x
y
r
r
×
= y
x
r
r
×
−
и
y
x
rr
×
=
321
321
yyy
xxx
kji
r
r
r
.
Тройка векторов
x
r
, y
r
, y
x
r
r
×
является правой. Векторы
x
r
, y
r
коллинеарны
(линейно зависимы), если и только если
y
x
r
r
×
=
o
r
. Выполняется
yx
rr
×
=
=
α
sinyx
rr
, где
α
угол между векторами
x
r
и
y
r
. Площадь параллело-
грамма, построенного на векторах
x
r
,
y
r
, равна
yx
r
r
×
.
Смешанное произведение
x
r
y
r
z
r
= ( y
x
r
r
×
) z
r
векторов
x
r
, y
r
, z
r
равно
x
r
y
r
z
r
=
321
321
321
zzz
yyy
xxx
.
Выполняются свойства:
x
r
y
r
z
r
=
z
r
x
r
y
r
=
y
r
z
r
x
r
,
y
r
x
r
z
r
=
y
r
−
x
r
z
r
.
Векторы
x
r
,
y
r
,
z
r
компланарны (линейно зависимы), если и только если
верно
x
r
y
r
z
r
= 0. Если векторы
x
r
, y
r
,
z
r
составляют правую тройку, то
x
r
y
r
z
r
>0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах
x
r
,
y
r
,
z
r
, ра-
вен |
x
r
y
r
z
r
|.
Если
),,(
321
aaaA =
и
),,(
321
bbbB =
точки из
3
E
, то, как известно,
п.1.6, координаты вектора
A
B
таковы
A
B= ),,(
332211
ababab −−− .
Расстоянием
AB
между точками
A
и
называется
AB
=
2
A
B
;
AB
=
233222211
)()()( ababab −+−+−
. 
                                                    r                       r
     Скалярное произведение векторов x = ( x1 , x 2 , x 3 ) , y = ( y1 , y 2 , y 3 )
определяем равенством, п. 4.3,
                       r r
                       x y = x1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ,
                           r
скалярный квадрат вектора x равен
                       r
                       x 2 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2
                r
и длина вектора x есть
                            r
                            ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 .
                            x =
                                           r r                 r r
     Вектор векторного произведения x × y векторов x и y перпендику-
                               r r            r r
лярен векторам сомножителям, y × x = − x × y и
                                    r       r      r
                                    i       j     k
                        r r
                        x × y = x1 x 2 x 3 .
                                           y1     y2     y3
                     r r r r                                             r r
Тройка векторов x , y , x × y является правой. Векторы x , y коллинеарны
                                          r r r                    r r
(линейно зависимы), если и только если x × y = o . Выполняется x × y =
  r r                                         r    r
= x y sin α , где α угол между векторами x и y . Площадь параллело-
                                 r r            r r
грамма, построенного на векторах x , y , равна x × y .
                               r rr r r r                r r r
     Смешанное произведение x y z = ( x × y ) z векторов x , y , z равно
                                           x1     x2     x3
                                r rr
                                x y z = y1        y2     y3 .
                                        z1        z2     z3
Выполняются свойства:
                  r rr r r r rr r rrr              rrr
                  x y z = z x y = y z x, y x z = − y x z.
            r r r
Векторы x , y , z компланарны (линейно зависимы), если и только если
        r rr                       r r r
верно x y z = 0. Если векторы x , y , z составляют правую тройку, то
r rr                                                      r r r
x y z >0. Объем параллелепипеда, построенного на векторах x , y , z , ра-
      r rr
вен | x y z |.
       Если A = (a1 , a 2 , a 3 ) и B = (b1 , b 2 , b 3 ) точки из E 3 , то, как известно,
п.1.6, координаты вектора AB таковы
                      AB = (b1 − a1 , b 2 − a 2 , b 3 − a 3 ) .
       Расстоянием AB между точками A и B называется AB =                          AB 2 ;
                   AB =      (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2 .




                                             37

Страницы