Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 36 стр.

вом, галилеевом пространствах существуют собственно евклидовы плос-
кости, k − плоскости.
      Коллинеации аффинного пространства являются коллинеациями евк-
лидовых пространств. Среди них выделяются движения – коллинеации,
сохраняющие расстояния между точками. Определители движений евкли-
довых пространств равны 1. Движения собственно евклидова, псевдоевк-
лидова, галилеева пространств имеют матрицы, основные блоки которых
есть o a , 1 a , 2 a , п. 3.7. Значит, группы движений этих плоскостей со-
держат подгуппы движений с неподвижной точкой, на которых определя-
ются мультипликативные линейные пространства, п. 3.7. А группы движе-
ний являются двухступенно разрешимыми группами – расширениями
групп −1 C1 , 0 C1 , 1 C1 группой параллельных переносов прямой.

     6.2. СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. Рассмат-
ривается аффинное пространство A 3 в линейном пространстве L3 которо-
го определено евклидово (точнее – собственно евклидово) скалярное про-
изведение векторов. Тем самым, мы имеем евклидово (собственно евкли-
дово) пространство, оно обозначается E 3 . Все понятия аффинного про-
странства становятся понятиями евклидова пространства. В частности, в
евклидовом пространстве мы имеем прямые, плоскости, коллинеации, ре-
перы и т.д. Взаимное расположение прямых и плоскостей в евклидовом
пространстве осталось таким же, как в аффинном пространстве, см. пп. 2.1
и 2.2, но добавились метрические свойства, т.е. свойства, связанные с воз-
можностью измерять расстояния между точками и углы между линиями.
Из реперов аффинного пространства выделяются те, которые имеют еще и
метрическую характеризацию.
                 r r r
       Пусть (O, e1 , e2 , e3 ) репер евклидова пространства, являющийся ре-
пером аффинного пространства, это аффинный репер евклидова простран-
ства. Считаем, что векторы репера удовлетворяют условиям
                                          r    r     r
(а) длины векторов равны единице: e1 = e2 = e3 = 1;
                                                  π r r         r r     r    r
(б) углы между всякими двумя векторами равны          : e1⊥e2 , e1⊥e3 , e2 ⊥e3 .
                                                  2
Такой репер называется ортонормированным. Обозначение ортонормиро-
                   r r r
ванного репера (O, i , j , k ) . Существуют процедуры, они изучаются в ал-
гебре векторных пространств, позволяющие переходить от всякого аффин-
ного репера к ортонормированному. Далее в E 3 рассматриваются орто-
нормированные реперы.




                                    36