Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 34 стр.

гебраической, геометрической и др.) рассматриваются нормы с различны-
ми свойствами: евклидовы нормы, псевдоевклидовы, галилеевы и другие.
Известен большой класс римановых метрик, по свойствам близким к евк-
лидовой метрике.


                            § 5. Векторные функции.

      5.1. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ. Отображение класса C k числового
интервала I в векторное пространство V n называется векторной функци-
ей класса C k одного параметра, векторная функция имеет вид
                     r
                     r (t ) = ( x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t )) , t ∈ I .
Всякий упорядоченный набор функций x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t ) с общей обла-
                                                                           r
стью определения     I определяет векторную функцию r (t ) =
( x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t )) в векторном пространстве V n . В галилеевом про-
странстве векторную функцию записываем в виде:
                       r
                       r (t ) = ( x(t ), x1 (t ),..., x n −1 (t )) , t ∈ I .
Аналогично определяются векторные функции двух и более параметров. В
частности, векторная функция двух параметров есть:
             r
             r (u , v) = ( x1 (u , v), x 2 (u , v),..., x n (u , v)) , (u , v) ∈ D ,
где D область евклидовой плоскости.

      5.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ. Во
всех евклидовых пространствах, в том числе и галилеевом, предел вектор-
ной функции можно определить равенством
             r       r
             a = lim r (t ) = ( lim x1 (t ), lim x 2 (t ),..., lim x n (t )) .
                   t →t o      t →to       t →to         t →to
В собственно евклидовом пространстве возможно и другое определение:
       r                             r
вектор a называется пределом вектора r (t ) в точке t o , если для всякого
ε > 0 существует δ > 0 , что как только t − to < δ , выполняется неравен-
     r        r
ство r (t ) − a < ε . Из этого определения предела в собственно евклидовом
пространстве следует предыдущее определение. В других рассматривае-
мых векторных пространствах это неверно.
     Обе линейные операции над векторами позволяют распространить на
векторные функции определение производной функции y ′ = f ′( x) для




                                        34