Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 38 стр.

     Пусть C = (c1 , c 2 , c 3 ) еще одна точка. Величину угла α между пря-
мыми AB и AC можно найти как угол между векторами AB и AC :
cosα =
             (b1 − a1 )(c1 − a1 ) + (b 2 −a 2 )(c 2 − a 2 ) + (b 3 − a 3 )(c 3 − a 3 )
                                                                                                         .
   (b1 − a1 ) 2 + (b 2 −a 2 ) 2 + (b 3 − a 3 ) 2 (c1 − a1 ) 2 + (c 2 −a 2 ) 2 + (c 3 − a 3 ) 2
Площадь ΔABC равна
                                       2                            2                            2
       1 b2 − a2          b3 − a 3             b1 − a1 b 3 − a 3            b1 − a 1 b 2 − a 2
    S=                                     +                            +                            .
       2 c2 − a2           c3 − a3             c1 − a 1   c3 − a3           c1 − a 1   c2 − a2
Объём параллелепипеда с диагональю AD′ , если D = (d 1 , d 2 , d 3 ) , равен
смешанному произведению векторов V = AB AC AD , или в координатах:
                               b1 − a1            b2 − a2     b3 − a3
                           V = c1 − a 1           c2 − a2     c3 − a3 .
                               d 1 − a1           d 2 − a2    d 3 − a3
     Прямая на плоскости определяется точкой P ( x0 , y 0 ) и нормальным
         r
вектором n = ( A, B ) :
                        A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 .
Три точки A, B, C коллинеарны (лежат на одной прямой), если и только
если AC = tAB , для коллинеарных точек плоскости выполняется условие
                                       c1 − a 1 c 2 − a 2
                                               =          ,
                                       b1 − a1 b 2 − a 2
для коллинеарных точек пространства выполняется
                        c1 − a 1 c 2 − a 2 c 3 − a 3
                                =         =          .
                        b1 − a1 b 2 − a 2 b 3 − a 3
Четыре точки A, B, C , D компланарны (лежат в одной плоскости), если и
только если смешанное произведение векторов AB, AC , AD равно нулю
                      b1 − a1 b 2 − a 2 b 3 − a 3
                            c1 − a 1       c2 − a2        c3 − a3 = 0 .
                            d 1 − a1       d 2 − a2
                                             d 3 − a3
                                                   r
Через точку P ( x0 , y0 , z 0 ) нормально вектору n = ( A, B, C ) проходит един-
ственная плоскость
                        A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 ,
она нормальна прямой




                                                   38