Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 40 стр.

     Обозначим координаты точки M ′ в репере P через ( x ′, y ′, z ′) . Коор-
динаты ( x ′, y ′, z ′) образа M ′ точки M = ( x, y, z ) в движении δ в репере P
выражаются через x, y, z формулами
                           ⎧ x ′ = a11 x + a 12 y + a 13 z + c1 ,
                           ⎪⎪
                            ⎨ y ′ = a1 x + a 2 y + a 3 z + c ,
                                     2         2        2       2

                            ⎪ ′
                            ⎪⎩ z = a1 x + a 2 y + a 3 z + c ;
                                     3        3        3       3


определитель движения равен ± 1 . Существуют ДР1 – движения рода 1,
сохраняющие ориентацию пространства, их определители равны 1; и ДР2 –
рода 2, изменяющие ориентацию пространства, их определители равны -1.
ДР1 составляют группу, ДР2 – не составляют. Матрицы ДР1 составляют
специальную линейную группу, обозначаемую SL(n,R).
      ДР1 плоскости: тождественное преобразование, параллельный пере-
нос и поворот; в частности, центральная симметрия есть поворот на 90о;
ДР2: осевая симметрия и скользящая симметрия. Формулы ДР1 и их мат-
рицы:
                 ⎧ x ′ = x cos α − y sin α + a, ⎛ cos α − sin α ⎞
                 ⎨                               ⎜⎜             ⎟⎟ ;
                 ⎩ y ′ = x sin α + y cos α + b; ⎝ sin α cos α ⎠
формулы ДР2 и матрицы:
                 ⎧ x ′ = x cos α + y sin α + a, ⎛ cos α sin α ⎞
                 ⎨                              ⎜⎜               ⎟⎟ .
                 ⎩ y ′ = x sin α − y cos α + b; ⎝ sin α − cos α ⎠
Матрицы движений плоскости ортогональны: скалярные квадраты строк и
столбцов матриц равны 1, скалярные произведения разных строк и разных
столбцов равны 0. Эти матрицы составляют ортогональную группу О(2),
матрицы ДР1 составляют специальную ортогональную группу SO(2).
      Матрица кругового поворота евклидовой плоскости не имеет собст-
венных направлений, поэтому в повороте нет инвариантных направлений.
Существуют гиперболические и параболические повороты евклидовой
плоскости, не являющиеся евклидовыми движениями, но в этих преобра-
зованиях определяются инвариантные направления на плоскости.
      ДР1 пространства: тождественное преобразование, параллельный
перенос, вращение вокруг прямой, в частности, симметрия относительно
прямой есть поворот на 90о, винтовое движение; ДР2: центральная сим-
метрия, симметрия относительно плоскости, перенос вдоль плоскости в
сумме с отражением от плоскости.
      В дальнейшем мы немного подробнее изучим евклидову геометрию,
рассмотрим кривые и поверхности и некоторые их свойства. Замечатель-
ные кривые можно получить как траектории точек в преобразованиях евк-
лидова пространства. Многие поверхности оказываются составленными из




                                            40