Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

42
Движения псевдоевклидова пространства
4
1
E
называются еще преобразо-
ваниями Г. Лоренца. Движения пространства
4
1
E
– его преобразования,
сохраняющие расстояния между точками. Движения плоскости
〉〈
1
,, eeO
r
r
в
которых точка
),(
x
t
отображается на точку ),(
x
t
′
′
, записываются форму-
лами
2
2
1
c
v
vtx
x
−
−
=
′
,
2
2
2
1
c
v
tx
c
v
t
−
+−
=
′
,
где
c скорость света, v скорость движения репера ),,(
1
eeO
′
′
′
r
r
относительно
репера
),,(
1
eeO
r
r
. Скорости движений складываются по особому правилу.
Матрицы псевдоевклидовых движений могут быть записаны с использова-
нием гиперболических функций, в частности
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ϕϕ
chsh
shch
.
Это матрица гиперболического поворота. Она имеет два собственных зна-
чения, которые определяют два инвариантных направления на псевдоевк-
лидовой плоскости. Свойства псевдоевклидова пространства можно изу-
чаются в [15 - 17].
6.4. ГАЛИЛЕЕВО ПРОСТРАНСТВО. Определяя в линейном про-
странстве
4
L аффинного пространства
4
A галилеево скалярное произве-
дение векторов, п. 4.5, получаем пространство-время Галилея, его обозна-
чение
4
Γ
. Вектор
x
r
=
),,,(
321
xxxx
имеет норму, п. 4.6:
x
r
=
x
, если 0≠
x
;
x
r
=
232221
)()()( xxx ++
, если 0=
x
.
Галилеево векторное пространство
4
Γ
V
является прямой суммой евклидо-
вых пространств
4
Γ
V
=
1
V
+
3
V
. Вектор
),,,(
321
xxxx
при
0≠
x
называ-
ется галилеевым, вектор
),,,0(
321
xxx
называется евклидовым, п. 4.6. Из
евклидовых векторов состоит пространство
3
V . Всякий галилеев вектор
перпендикулярен всякому евклидову вектору.
Расстояние между точками
A
и
B
по определению равно
AB
=
=
2
A
B
. Имеем
AB
=
ab −
, если
ab
≠
; 
Движения псевдоевклидова пространства E14 называются еще преобразо-
ваниями Г. Лоренца. Движения пространства E14 – его преобразования,
                                                                      r r
сохраняющие расстояния между точками. Движения плоскости 〈O, e , e1 〉 в
которых точка (t , x) отображается на точку (t ′, x ′) , записываются форму-
лами
                                              v
                                              −  x+t
                                x − vt       c 2
                            ′
                          x =             ′
                                       , t =         ,
                                    v2           v2
                                1− 2         1− 2
                                    c            c
                                                       r r
где c скорость света, v скорость движения репера (O ′, e ′, e1′) относительно
           r r
репера (O, e , e1 ) . Скорости движений складываются по особому правилу.
Матрицы псевдоевклидовых движений могут быть записаны с использова-
нием гиперболических функций, в частности
                                ⎛ chϕ    shϕ ⎞
                                ⎜⎜            ⎟.
                                ⎝ shϕ    chϕ ⎟⎠
Это матрица гиперболического поворота. Она имеет два собственных зна-
чения, которые определяют два инвариантных направления на псевдоевк-
лидовой плоскости. Свойства псевдоевклидова пространства можно изу-
чаются в [15 - 17].

     6.4. ГАЛИЛЕЕВО ПРОСТРАНСТВО. Определяя в линейном про-
странстве L4 аффинного пространства A 4 галилеево скалярное произве-
дение векторов, п. 4.5, получаем пространство-время Галилея, его обозна-
                   r
чение Γ 4 . Вектор x = ( x, x1 , x 2 , x 3 ) имеет норму, п. 4.6:
       r                    r
       x = x , если x ≠ 0 ; x =      ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 , если x = 0 .
Галилеево векторное пространство VΓ4 является прямой суммой евклидо-
вых пространств VΓ4 = V1 + V 3 . Вектор ( x, x1 , x 2 , x 3 ) при x ≠ 0 называ-
ется галилеевым, вектор (0, x1 , x 2 , x 3 ) называется евклидовым, п. 4.6. Из
евклидовых векторов состоит пространство V 3 . Всякий галилеев вектор
перпендикулярен всякому евклидову вектору.
     Расстояние между точками A и B по определению равно AB =
= AB 2 . Имеем
             AB = b − a , если b ≠ a ;




                                        42

Страницы