Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

44
Содержание пп. 6.2 – 6.5 дает некоторое представление о разнообра-
зии евклидовых пространств и их геометрий. Наиболее изученной является
собственно евклидова геометрия. Началам дифференциальной геометрии
евклидова пространства посвящено настоящее пособие. Рассматриваются
некоторые начальные классические понятия и вопросы и классические ме-
тоды дифференциальной геометрии. Это связано с малым объемом курса
геометрии.
§ 7. Многообразия.
Каждое из рассмотренных евклидовых пространств обладает одним
замечательным свойством: координаты точек введены во всем пространст-
ве заданием репера пространства. Рассмотрим обобщения евклидовых про-
странств, в которых координаты введены в окрестностях его точек; в раз-
ных окрестностях могут оказаться разные координаты.
7.1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. Пусть М некоторое
множество,
1
U
его подмножество. Элементы множества М называются
точками. Точка
A
называется внутренней точкой множества
1
U
, если в
1
U
существует подмножество
A
U
, содержащее точку
A
. Множество
1
U
называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Мно-
жество
1
U , содержащее точку
A
, называется окрестностью точки
A
.
Пусть
T
=
{
}
α
U система подмножеств множества M , удовлетво-
ряющая условиям:
(а) множество индексов
{
}
α
не более чем счетно;
(б)
M=
U
α
α
U ;
(в)
,
T
∈M ∅
T
∈
;
(г)
TUU ⊂∩
βα
;
(д) объединение любого числа множеств из
T
принадлежит
T
.
Система множеств
T
называется покрытием множества
M
. Пара
),(
T
M
называется топологией на множестве
M
или топологическим простран-
ством. Разные системы множеств
{
}
α
U
задают на
M
разные топологии.
Топологическое пространство
),(
T
M
называется хаусдорфовым,
если для любых двух его точек в
T
существуют непересекающиеся под-
множества, содержащие эти точки.
Отображение
f
множества M во множество S называется непре-
рывным в точке
A
множества
M
, если для любой окрестности
точки 
      Содержание пп. 6.2 – 6.5 дает некоторое представление о разнообра-
зии евклидовых пространств и их геометрий. Наиболее изученной является
собственно евклидова геометрия. Началам дифференциальной геометрии
евклидова пространства посвящено настоящее пособие. Рассматриваются
некоторые начальные классические понятия и вопросы и классические ме-
тоды дифференциальной геометрии. Это связано с малым объемом курса
геометрии.


                          § 7. Многообразия.

      Каждое из рассмотренных евклидовых пространств обладает одним
замечательным свойством: координаты точек введены во всем пространст-
ве заданием репера пространства. Рассмотрим обобщения евклидовых про-
странств, в которых координаты введены в окрестностях его точек; в раз-
ных окрестностях могут оказаться разные координаты.

      7.1. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. Пусть М некоторое
множество, U 1 его подмножество. Элементы множества М называются
точками. Точка A называется внутренней точкой множества U 1 , если в
U 1 существует подмножество U A , содержащее точку A . Множество U 1
называется открытым, если каждая его точка является внутренней. Мно-
жество U 1 , содержащее точку A , называется окрестностью точки A .
      Пусть T = {U α } система подмножеств множества M , удовлетво-
ряющая условиям:
(а) множество индексов {α } не более чем счетно;
(б) UU α = M ;
    α
(в) M ∈ T , ∅∈ T ;
(г) U α ∩ U β ⊂ T ;
(д) объединение любого числа множеств из T принадлежит T .
Система множеств T называется покрытием множества M . Пара (M, T )
называется топологией на множестве M или топологическим простран-
ством. Разные системы множеств {U α } задают на M разные топологии.
      Топологическое пространство (M, T ) называется хаусдорфовым,
если для любых двух его точек в T существуют непересекающиеся под-
множества, содержащие эти точки.
      Отображение f множества M во множество S называется непре-
рывным в точке A множества M , если для любой окрестности V точки




                                  44

Страницы