Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 45 стр.

 f ( A) в S существует в M окрестность U , что f (U ) ⊆ V . Отображение
 f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множе-
ства M . Непрерывное отображение f : M → S называется гомеоморф-
ным, если оба отображения f и f −1 :S → M непрерывны. В этом случае
множества M и S называются гомеоморфными.

     7.2. МНОГООБРАЗИЕ. Считаем, что на множестве M задано хаус-
дорфово топологическое пространство (M, T ) , T = {U α }, UU α = M и
                                                                               α
каждое множество U α из T гомеоморфно отображается в R n . Под R n
понимается n − мерное евклидово пространство. M называется многооб-
разием размерности n . Пусть U α отображается в R n гомеоморфизмом
hα . Каждой точке M из U α соответствует точка ( x1 , x 2 ,..., x n ) в R n . На-
бор чисел ( x1 , x 2 ,..., x n ) называется координатами точки M . Пара
(U α , hα ) называется локальной картой. Множество всех локальных карт
называется атласом многообразия M . Расстояние между точками M =
( x1 , x 2 ,..., x n ) и N = ( y1 , y 2 ,..., y n ) множества M равно
              MN =     ( y1 − x1 ) 2 + ( y 2 − x 2 ) 2 + ... + ( y n − x n ) 2 .
Оно обладает всеми свойствами евклидова расстояния между точками.
      Многообразие M называется дифференцируемым, если существует
атлас, удовлетворяющий условиям:
(а) карты атласа покрывают множество M ;
(б) если для карт (U α , hα ) и (U β , hβ ) : U α ∩ U β ≠ ∅ и P ∈ U α ∩ U β , то
функции, выражающие координаты точки P в одной карте через коорди-
наты точки P в другой карте дифференцируемы и определитель замены
координат отличен от нуля.
     Подмножества в R n , на которые отображаются подмножества U α ,
можно считать открытыми n − мерными параллелепипедами. Часто такие
подмножества считаются открытыми n − мерными шарами. Параллелепи-
педы и шары гомеоморфны.
     Говоря точнее, M называется евклидовым многообразием. Мы оп-
ределяем ниже и другие многообразия.

       7.3. ПСЕВДОЕВКЛИДОВО МНОГООБРАЗИЕ. Рассматривается
множество M и хаусдорфово топологическое пространство (M, T ) , T =
{U α }, U α ∈ M . На каждом множестве U α задано гомеоморфное отобра-



                                          45