Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

46
жение
α
h
:
→
α
U
4
R
и имеется атлас карт
),(
αα
hU
. Всякая точка
M
из
α
U в
α
h отображается на точку
),,,(
321
xxxx
в
4
R
. Точка
M
имеет коор-
динаты
),,,(
321
xxxx
. Считаем, что в
4
R
определено псевдоевклидово
расстояние между точками, тогда во множестве
M , если
M
=
),,,(
321
xxxx
и
N
=
),,,(
321
yyyy
, то
MN
=
2332222112
)()()()( xyxyxyxy −−−−−−−
.
Многообразие
M
называется псевдоевклидовым. Откры-
тые области в
4
R
, на которые отображаются
α
U из
T
, мо-
гут быть ограничены гиперплоскостями, параллельными
координатным, гиперболоидами вида
−−−−
2112
)()( axax
1)()(
233222
=−−− axax
; а могут быть ограничены только ко-
ординатными гиперплоскостями, т.е. состоять из внутрен-
них точек 4-мерных параллелепипедов.
7.4. ГАЛИЛЕЕВО МНОГООБРАЗИЕ. Пусть
M
хаусдорфово то-
пологическое пространство с заданными
T
=
{
}
α
U
,
∈
α
U
M . Считаем, что
задано гомеоморфное отображение каждого открытого множества
α
U из
M во множество
n
R
.
На множестве
n
R
могут быть определены различ-
ные расстояния между точками – евклидово, псевдоевклидово, галилеево и
другие. Считаем, что на
n
R
определена галилеева метрика.
В кортежах, составляющих
n
R
, выделим первую компоненту и кор-
тежи записываем в виде
),...,,,(
121 −
=
n
xxxxX . Пусть
),...,,,(
121 −
=
n
yyyyY
еще одна точка. Галилеевым расстоянием
XY
ме-
жду точками Х и Y называется
XY
=
xy
, если
x
y
≠
,
XY
=
211211
)(...)(
−−
−++−
nn
xyxy
, если
x
y = .
Тем самым имеем галилеево многообразие
n
R
.
Открытыми множествами
2
D
в
2
R
являются множества пар
),(
1
xx
,
где
b
x
a <<
,
111
b
x
a <
<
и
),( ba
,
),(
11
ba
интервалы из R. Открытые
множества
3
D
в
3
R
есть множества троек ),,(
21
xxx , где b
x
a << ,
22221
)()( cxx <+
. Множество
3
D
есть внутренность цилиндра радиуса
c
жение hα : U α → R 4 и имеется атлас карт (U α , hα ) . Всякая точка M из
U α в hα отображается на точку ( x, x1 , x 2 , x 3 ) в R 4 . Точка M имеет коор-
динаты ( x, x1 , x 2 , x 3 ) . Считаем, что в R 4 определено псевдоевклидово
расстояние между точками, тогда во множестве M , если M =
( x, x1 , x 2 , x 3 ) и N = ( y , y1 , y 2 , y 3 ) , то
           MN =      ( y − x ) 2 − ( y 1 − x1 ) 2 − ( y 2 − x 2 ) 2 − ( y 3 − x 3 ) 2 .
Многообразие M называется псевдоевклидовым. Откры-
тые области в R 4 , на которые отображаются U α из T , мо-
гут быть ограничены гиперплоскостями, параллельными
координатным, гиперболоидами вида ( x − a) 2 − ( x1 − a1 ) 2 −
( x 2 − a 2 ) 2 − ( x 3 − a 3 ) 2 = 1; а могут быть ограничены только ко-
ординатными гиперплоскостями, т.е. состоять из внутрен-
них точек 4-мерных параллелепипедов.
     7.4. ГАЛИЛЕЕВО МНОГООБРАЗИЕ. Пусть M хаусдорфово то-
пологическое пространство с заданными T = {U α }, U α ∈ M . Считаем, что
задано гомеоморфное отображение каждого открытого множества U α из
M во множество R n . На множестве R n могут быть определены различ-
ные расстояния между точками – евклидово, псевдоевклидово, галилеево и
другие. Считаем, что на R n определена галилеева метрика.
     В кортежах, составляющих R n , выделим первую компоненту и кор-
тежи     записываем      в     виде      X = ( x, x1 , x 2 ,..., x n −1 ) . Пусть
Y = ( y, y1, y 2 ,..., y n −1 ) еще одна точка. Галилеевым расстоянием XY ме-
жду точками Х и Y называется
                       XY = y − x , если y ≠ x ,
             XY = ( y1 − x1 ) 2 + ... + ( y n −1 − x n −1 ) 2 , если y = x .
Тем самым имеем галилеево многообразие R n .
     Открытыми множествами D 2 в R 2 являются множества пар ( x, x1 ) ,
где a < x < b , a1 < x1 < b1 и (a, b) , ( a1 , b1 ) интервалы из R. Открытые
множества D3 в R 3 есть множества троек ( x, x1 , x 2 ) , где                         a < x < b,
( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 < c 2 . Множество D3 есть внутренность цилиндра радиуса c




                                             46

Страницы