Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

48
Ч А С Т Ь II
ЕВКЛИДОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
________________________________________________________________
Глава 3
Евклидова дифференциальная геометрия
§ 8. Кривые евклидова пространства.
8.1. РЕГУЛЯРНАЯ КРИВАЯ. Задано отображение
3
: EI →
ρ
ин-
тервала
I
действительной оси
R
в 3-мерное евклидово пространство. Ин-
тервал
I
может совпадать с
R
. Требуется, чтобы отображение
ρ
было
взаимно однозначным и взаимно непрерывным, т.е.
ρ
– гомеоморфизм. В
отображении
ρ
всякому значению I
∈
t
соответствует точка
3
E∈
M
. В
пространстве
3
E
введен ортонормированный репер
B
=
),,,( kjiO
r
rr
, точка
M
имеет координаты в репере
B
:
M
=
),,( zy
x
. С изменением значения
t
на интервале
I
изменяются координаты точки
M
, они являются функ-
циями параметра
t
: )(
t
M
= ))(),(),((
t
z
t
y
t
x
. Три функции координат точ-
ки
)(
t
M
в рассматриваемом порядке составляют векторную функцию
))(),(),(()(
t
z
t
y
t
x
t
=
r
,
I
∈
t
.
Образ отрезка
I
в отображении
ρ
называется кривой евклидова про-
странства. Кривая есть множество точек
}),(|{ I
∈
=
=
t
t
r
OM
M
l
r
.
Указанное множество точек
M
называется еще годографом векторной
функции
)(
t
r
r
=
.
Если
)(
t
r
′
r
непрерывна и
0)(
≠
′
t
r
r
, то кривая
)(
t
r
r
называется глад-
кой в окрестности точки
o
t
. Если кроме того, существуют производные
векторной функции
)(
t
r
r
до порядка
n
включительно, то кривая в окрест-
ности точки
o
t
называется регулярной класса
n
C
,
2≥n
. Точка кривой, в
окрестности которой кривая регулярная, называется обыкновенной.
Далее рассматриваем регулярные класса
3
C кривые, интервал
I
счи-
таем окрестностью точки
o
t
этого интервала,
0)(
≠
′
t
r
r
, существуют
r
′′
r
,
r
′′′
r
, векторы
r
′
r
,
r
′
′
r
неколлинеарны. 
                           Ч А С Т Ь II
 ЕВКЛИДОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
________________________________________________________________

Глава 3
            Евклидова дифференциальная геометрия

                   § 8. Кривые евклидова пространства.
      8.1. РЕГУЛЯРНАЯ КРИВАЯ. Задано отображение ρ : I → E3 ин-
тервала I действительной оси R в 3-мерное евклидово пространство. Ин-
тервал I может совпадать с R . Требуется, чтобы отображение ρ было
взаимно однозначным и взаимно непрерывным, т.е. ρ – гомеоморфизм. В
отображении ρ всякому значению t ∈ I соответствует точка M ∈ E3 . В
                                                                  r r r
пространстве E 3 введен ортонормированный репер B = (O, i , j , k ) , точка
M имеет координаты в репере B : M = ( x, y, z ) . С изменением значения t
на интервале I изменяются координаты точки M , они являются функ-
циями параметра t : M (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) . Три функции координат точ-
ки M (t ) в рассматриваемом порядке составляют векторную функцию
                        r
                        r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) , t ∈ I .
Образ отрезка I в отображении ρ называется кривой евклидова про-
странства. Кривая есть множество точекr
                         l = {M | OM = r (t ), t ∈ I} .
Указанное множество точек M называется еще годографом векторной
           r r
функции r = r (t ) .
             r                      r                               r
     Если r ′(t ) непрерывна и r ′(t ) ≠ 0 , то кривая r (t ) называется глад-
кой в окрестности точки to . Если кроме того, существуют производные
                     r
векторной функции r (t ) до порядка n включительно, то кривая в окрест-
ности точки t o называется регулярной класса C n , n ≥ 2 . Точка кривой, в
окрестности которой кривая регулярная, называется обыкновенной.
          Далее рассматриваем регулярные класса C 3 кривые, интервал I счи-
                                                 r                      r
таем окрестностью точки t o этого интервала, r ′(t ) ≠ 0 , существуют r ′′ ,
r                r r
r ′′′ , векторы r ′ , r ′′ неколлинеарны.




                                       48

Страницы