Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

50
дающей кривую в
3
E , длиной дуги этой кривой называется естественной,
это параметризация
)(
s
r
r
=
))(),(),((
s
z
s
y
s
x
,
I
∈
s
,
s
называется естественным параметром кривой. Обозначения произ-
водных по параметру
s
: r
ds
rd
r
s
&
r
r
r
==
′
,
rr
s
s
&&
r
r
=
′′
и т.д.
Лемму 8.2.1. сформулируем в следующем виде.
8.2.2. ЛЕММА. Вектор первой производной векторной функции в
естественной параметризации имеет постоянную единичную длину:
1=r
&
r
.
8.2.3. ЛЕММА. Вектор производной вектора постоянного модуля
перпендикулярен этому вектору.
# Выполняется
2
2
rr
rr
=
. Продифференцируем равенство
C
r
=
2
r
:
02 =
′
r
r
rr
. А это означает
r
r
r
r
⊥
. #
8.3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ И НОРМАЛЬНАЯ ПЛОС-
КОСТЬ КРИВОЙ. Вектор
)(
o
tr
′
r
является вектором касательной кривой
)(
t
r
r
в точке
o
t
. Обозначим точку кривой
)(
t
r
r
, соответствующую значе-
нию параметра
o
t
, через
P
, т.е.
)(
o
tPP
=
. Плоскость, проходящая через
точку
)(
o
tP кривой и перпендикулярная вектору )(
o
tr
r
, называется нор-
мальной плоскостью кривой в точке
o
t
. По вектору
)(
o
tr
′
r
=
))(),(),((
ooo
tztytx
′′
и точке )(
o
tP = ))(),(),((
ooo
tztytx запишем уравне-
ния касательной прямой и нормальной плоскости кривой
)(
t
r
r
:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
o
o
o
o
o
o
tz
tzz
ty
tyy
tx
txx
′
−
=
′
−
=
′
−
;
0))()(())()(())()(( =
−
+
−
′
+
−
′
oooooo
tzztztyytytxxtx
.
8.3.1. ТЕОРЕМА. Положение касательной прямой кривой
)(
t
r
r
в
каждой ее точке не зависит от параметризации кривой.
# Пусть
)(
t
r
r
произвольная параметризация кривой, )(
s
r
r
есть естест-
венная параметризация и пусть
)(
t
s
s
=
. Тогда
tt
tsrr )))(((
′
=
r
r
=
srsr
t
s
′
=
′′
&
rr
,
т.е. векторы
r
r
и
r
&
r
коллинеарны. Обозначим
)(
oo
tss
=
. Прямые
>
′
< )(,
t
r
P
r
,
>< )(, srP
&
r
совпадают. #
Единичный вектор касательной обозначается через
t
r
. 
дающей кривую в E3 , длиной дуги этой кривой называется естественной,
это параметризация r
                     r (s ) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) , s ∈ I ,
s называется естественным параметром кривой. Обозначения произ-
                               r
                        r dr r& r               r
водных по параметру s : rs′ =    = r , rss′′ = &r& и т.д.
                              ds
       Лемму 8.2.1. сформулируем в следующем виде.
       8.2.2. ЛЕММА. Вектор первой производной векторной функции в
естественной параметризации имеет постоянную единичную длину:
  r
 r& = 1.
     8.2.3. ЛЕММА. Вектор производной вектора постоянного модуля
перпендикулярен этому вектору.
                             r      r2                                                   r
        # Выполняется r 2 = r . Продифференцируем равенство r 2 = C :
 rr                         r r
2r r ′ = 0 . А это означает r ′⊥r . #

        8.3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ И НОРМАЛЬНАЯ ПЛОС-
                                     r
КОСТЬ КРИВОЙ. Вектор r ′(to ) является вектором касательной кривой
r                                                       r
r (t ) в точке to . Обозначим точку кривой r (t ) , соответствующую значе-
нию параметра to , через P , т.е. P = P (to ) . Плоскость, проходящая через
                                                                  r
точку P (to ) кривой и перпендикулярная вектору r ′(to ) , называется нор-
                                                                                   r
мальной          плоскостью кривой в точке t o . По вектору r ′(t o ) =
( x′(to ), y′(to ), z ′(to )) и точке P (to ) = ( x(to ), y (to ), z (to )) запишем уравне-
                                                                            r
ния касательной прямой и нормальной плоскости кривой r (t ) :
                          x − x(to ) y − y (to ) z − z (to )
                                      =               =              ;
                            x′(to )         y ′(to )      z ′(to )
           x′(to )( x − x(to )) + y′(to )( y − y (to )) + z ′(to )( z − z (to )) = 0 .
                                                                                             r
    8.3.1. ТЕОРЕМА. Положение касательной прямой кривой r (t ) в
каждой ее точке
             r не зависит от параметризации кривой. r
    # Пусть r (t ) произвольная параметризация кривой, r ( s ) есть естест-
                                                               r      r              r           r
венная параметризация и пусть s = s (t ) . Тогда rt ′ = (r ( s (t )))′t = rs′st′ = r&s′ ,
                  r         r
т.е. векторы r ′ и r& коллинеарны. Обозначим so = s (t o ) . Прямые
     r                 r
< P, r ′(t ) > , < P, r& ( s ) > совпадают. #
                                                                             r
       Единичный вектор касательной обозначается через t .




                                              50

Страницы