Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 52 стр.

     8.5.1. ТЕОРЕМА. Положение соприкасающейся плоскости не зави-
сит от параметризации кривой.                             r
     # Рассматриваем кривую в произвольной параметризации r (t ) и в
                                              r                                     r r
естественной         параметризации           r (s) ,  s = s (t ) . Имеем          r ′ = r&s′ ,
r       r         r                              r r             r r
r ′′ = &r&s′ 2 + r&s′′ . Линейные пространства 〈 r ′, r ′′〉 и 〈 r& , &r&〉 совпадают, следо-
                                            r r              r r
вательно, совпадают и плоскости 〈 P, r ′, r ′′〉 , 〈 P, r& , &r&〉 . #
     Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость называются еще
соответственно первой и второй соприкасающимися плоскостями кривой.
Соединяем теоремы 8.3.1 и 8.5.1:
     8.5.2. ТЕОРЕМА. Соприкасающиеся плоскости регулярной кривой
существуют, их положение не зависит от параметризации кривой. #

       8.6. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ
                    r                   РЕПЕР КРИВОЙ. Пусть
                   r ( s ) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) , s ∈ I ,
регулярная класса C 3 кривая. Во всякой ее обыкновенной точке P суще-
                         r            r r
ствует касательная < P, r& ( s ) > , r& = t единичный вектор касательной, см.
                          r       r                         r r       r r            r
пп. 8.2 и 8.3. Имеем t& = &r& и по лемме 8.2.3, &r&⊥r& , т.е. t&⊥r& . Вектор &r& опре-
                     r              r
деляет нормаль 〈 P, &r&〉 кривой r (s ) в точке P , она называется главной
                   r
нормалью кривой r (s ) в точке P . Кривая в любой своей точке имеет бес-
конечно много нормалей, составляющих нормальную плоскость кривой.
       r   &rr&
Вектор n = r называется единичным вектором главной нормали кривой.
           &r&
Вектором бинормали называется вектор, перпендикулярный соприкасаю-
                                                                r
щейся плоскости кривой, единичный вектор бинормали обозначается b ,
r r r             r r r
b = t × n , имеем b || r& × &r& , точнее,
                                        r rr& × &rr&
                                        b= r r ,
                                           r& × &r&
 r r                                           r r                   r
r& × &r& есть векторное произведение векторов r& , &r& . Прямая 〈 P, b 〉 называет-
ся бинормалью кривой.
                                                r r r
      С кривой связан сопровождающий репер ( P, t , n , b ) , P точка дви-
                                                        r         r                         r
жется по кривой. Координатные оси: < P, r& > = 〈 P, t 〉 касательная, 〈 P, n 〉
                              r                                                       r r
главная нормаль, 〈 P, b 〉 бинормаль. Координатные плоскости: 〈 P, r& , &r&〉 =
     r r                           r r                      r r
〈 P, t , n 〉 соприкасающаяся, 〈 P, n , b 〉 нормальная, 〈 P, t , b 〉 спрямляющая.




                                              52