Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

51
8.4. КАСАТЕЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И КАСАТЕЛЬНОЕ РАС-
СЛОЕНИЕ. При движении точки
)(
t
M
по кривой
)(
t
r
r
вектор
)(
t
r
r
изме-
няется. Имеем отображение точек кривой в векторное пространство при
каждом значении
t
:
→)(
t
M
)(
t
r
′
r
.
Это касательное отображение вдоль кривой
)(
t
r
r
. Рассмотрев всевозмож-
ные кривые евклидова пространства
3
E , проходящие через точку
P
, и ка-
сательные отображения вдоль этих кривых, имеем касательное отобра-
жение евклидова пространства
3
E
в его векторное пространство
3
V
в
точке
P
. Множество касательных отображений →
3
E
3
V во всех точках
P
называется касательным расслоением.
8.5. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ. Рассмотрим плоско-
сти, проходящие через касательную кривой
)(
t
r
r
в точке )(
o
tPP = кривой.
При изменении параметра
t
получаем вектор
)( ttr
o
Δ
′
r
. Для вектора
)( ttr
o
Δ+
′
r
имеет место формула Тейлора
)( ttr
o
Δ
+
′
r
=
)(
o
tr
′
r
+
ttr
o
Δ
′
′
)(
r
+
)(
t
o
Δ
r
,
)(
t
o Δ
r
бесконечно малое векторное слагаемое, более высокого порядка, чем
t
Δ
. Точка
)( ttM
o
Δ
кривой и касательная
〉
′
〈
)(,
o
trP
r
определяют плос-
кость
Π
=
,
P
〈 )(
o
tr
′
r
,
〉Δ+
′
)( ttr
o
r
. Нормальный вектор этой плоскости есть
×
′
)(
o
tr
r
)( ttr
o
Δ
′
r
. Найдем нормаль плоскости
Π
при
P
M
→ , т.е. при
0→Δ
t
. Имеем
×
′
)(
o
tr
r
)( ttr
o
Δ
′
r
= ×
′
)(
o
tr
r
( )(
o
tr
′
r
+ ttr
o
Δ
′
′
)(
r
+ )(
t
o
Δ
r
) =
=
′
)(
o
tr
r
ttr
o
Δ
′
′
)(
r
+
×
′
)(
o
tr
r
)(
t
o Δ
r
.
При
0→Δ
t
второе слагаемое стремится к o
r
быстрее, чем 0→Δ
t
. Следо-
вательно, нормали рассматриваемых плоскостей незначительно отличают-
ся от вектора
′
)(
o
tr
r
)(
o
tr
′
′
r
. (Мы рассматриваем регулярные кривые, этот
вектор существует.) С уменьшением
t
Δ
уменьшается длина вектора нор-
мали, направление ее стремится к неизменному направлению
×
′
)(
o
tr
r
)(
o
tr
′′
r
.
Плоскость
,
P
〈
),(
o
tr
′
r
〉
′′
)(
o
tr
r
называется соприкасающейся плоско-
стью кривой в точке
0
t . Уравнение соприкасающейся плоскости
.0
)()()(
)()()(
)()()(
=
′′′′′′
′′′
−
ooo
ooo
ooo
tztytx
tztytx
tzztyytxx
     8.4. КАСАТЕЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ И КАСАТЕЛЬНОЕ    r          r РАС-
СЛОЕНИЕ. При движении точки M (t ) по кривой r (t ) вектор r (t ) изме-
няется. Имеем отображение точек кривой в векторное пространство при
каждом значении t :                 r
                           M (t ) → r ′(t ) .
                                              r
Это касательное отображение вдоль кривой r (t ) . Рассмотрев всевозмож-
ные кривые евклидова пространства E3 , проходящие через точку P , и ка-
сательные отображения вдоль этих кривых, имеем касательное отобра-
жение евклидова пространства E 3 в его векторное пространство V 3 в
точке P . Множество касательных отображений E 3 → V 3 во всех точках
P называется касательным расслоением.

        8.5. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ. Рассмотрим плоско-
                                                             r
сти, проходящие через касательную кривой r (t ) в точке P = P(to ) кривой.
                                                                    r
При изменении параметра t получаем вектор r ′(t o + Δt ) . Для вектора
r
r ′(to + Δt ) имеет место формула Тейлора
                         r                 r           r              r
                         r ′(to + Δt ) = r ′(to ) + r ′′(to )Δt + o (Δt ) ,
 r
o (Δt ) бесконечно малое векторное слагаемое, более высокого порядка, чем
                                                                    r
Δt . Точка M (to + Δt ) кривой и касательная 〈 P, r ′(to )〉 определяют плос-
                       r       r
кость Π = 〈 P, r ′(t o ) , r ′(to + Δt )〉 . Нормальный вектор этой плоскости есть
r          r
r ′(to ) × r ′(to + Δt ) . Найдем нормаль плоскости Π при M → P , т.е. при
Δt → 0 . Имеем
r          r                  r         r          r               r
r ′(to ) × r ′(to + Δt ) = r ′(to ) × ( r ′(to ) + r ′′(to )Δt + o (Δt ) ) =
                                                          r         r               r          r
                                                       = r ′(to ) × r ′′(t o ) Δt + r ′(to ) × o (Δt ) .
                                                            r
При Δt → 0 второе слагаемое стремится к o быстрее, чем Δt → 0 . Следо-
вательно, нормали рассматриваемых плоскостей незначительно отличают-
                       r        r
ся от вектора r ′(to ) × r ′′(to ) . (Мы рассматриваем регулярные кривые, этот
вектор существует.) С уменьшением Δt уменьшается длина вектора нор-
мали, направление ее стремится к неизменному направлению
r          r
r ′(to ) × r ′′(to ) .
                              r       r
        Плоскость 〈 P, r ′(t o ), r ′′(to )〉 называется соприкасающейся плоско-
стью кривой в точке t0 . Уравнение соприкасающейся плоскости
                            x − x (t o )   y − y (to ) z − z (to )
                              x′(to )        y′(to )     z ′(to ) = 0.
                              x′′(to )       y′′(to )    z ′′(to )




                                                  51

Страницы