Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 53 стр.

                           § 9. Кривизна и кручение кривой
                                                                        r
     9.1. КРИВИЗНА КРИВОЙ. На регулярной кривой r ( s ) возьмем
точку P = P( so ) и точку M = M (to + Δs ) . Угол между касательными
      r            r
< P, r& > и 〈 M , r& ( so + Δs )〉 обозначим через ϕ . Изменению Δs параметра
s соответствует изменение Δϕ угла между касательными. Обозначим:
                                              dϕ
                                     k1 = lim    .
                                              ds
               r
Имеем: k = t& , это скорость вращения единичного вектора касательной;
            1
      r
k1 = &r& . Таким образом, справедливо равенство
                                   r        r r         r
                                   t& = k1n и &r& = k1n .
                             r
Во всякой точке кривой r (s ) :
                        &rr&( s ) = k ( s )nr и k ( s ) = &rr&( s ) .
                                      1          1
                                                                            r
Величина k1 называется кривизной или первой кривизной кривой r ( s ) в
                                                                    r
точке P ; функция k1 = k1 ( s ) называется функцией кривизны кривой r ( s ) ,
           r                              r                     1
k1 ≥ 0 , &r&(s ) – вектор кривизны кривой r (s ) . Величина R =    называется
                                                                k1
                                r
радиусом кривизны кривой r ( s ) в точке P . В направлении вектора кри-
          r
визны n откладывается отрезок PQ = R . Окружность ω (Q, R ) с центром
Q и радиусом R называется окружностью кривизны в точке P или сопри-
                                       r
касающейся окружностью кривой r (s ) в токе P . Она касается кривой
r
r ( s ) и ее касательной в точке P .

       9.2. КРКУЧЕНИЕ КРИВОЙ. Отметим уже известные соотношения
                              r r& r r
(9.2.1)
                            r ⊥
                              n   n , n ⊥t .
                                r r
Продифференцируем равенство b = t × n :
                                 r& r r r r r r
                                 b = t& × n + t × n& = t × n& ,
        r r          r r r
так как t& || n , то t& × n = o . Значит,
                                         r& r r& r
                                         b ⊥t , b ⊥n& .
Отсюда и из (9.2.1) следует
                                             r& r
                                             b || n .
Положим




                                               53