Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 54 стр.

                                         r&         r
(9.2.2)                        b = −k 2 n .
                                            r
Величина k 2 называется кручением кривой r (s ) или второй кривизной
        r                               r&
кривой r ( s ) в точке P . Вектор b называется вектором кручения. При
                                 r
движении точки P по кривой r (s ) , т.е. с изменением параметра s имеем
функцию k 2 = k 2 ( s ) – функцию кручения. Знак величины k 2 может быть и
положительным и отрицательным.
                                                                         r
      Кривизна кривой равна скорости вращения единичного вектора t
касательной кривой. Кручение кривой равно скорости вращения единично-
              r
го вектора b бинормали кривой.

                                                                                r r&
      9.3. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ. Ранее найдены разложения векторов t& ,                  b
                                   r r r                                           r
по векторам подвижного репера ( P, t , n , b ) кривой. Найдем разложение          n&
в том же базисе:
       r r          r r& r r r                 r r r         r      r     r
       n = b × t , n& = b × t + b × t& = − k 2 n × t + b × k1n = k 2b − k1t ,
или окончательно
                                 r       r      r
                                n& = − k1t + k 2b .
Полученные разложения
                     r      r r          r      r r&          r
                     t& = k1n , n& = − k1t + k 2b , b = − k 2 n
называются формулами Френе. Им соответствует матрица
                               ⎛ 0            k1    0⎞
                               ⎜                       ⎟
                               ⎜ − k1         0     k2 ⎟ ,
                               ⎜ 0           − k2   0 ⎟⎠
                               ⎝
являющаяся кососимметрической.

     9.4. УПЛОЩЕНИЕ КРИВОЙ. Определим вид кривой, имеющей
нулевое кручение, нулевую кривизну.
                                               r&   r                r
      Пусть k 2 = 0 . Согласно (9.1.1), b = o . Следовательно, b постоянный
вектор. Это нормальный вектор соприкасающейся плоскости. Вектор не
изменяется, значит, перпендикулярная ему плоскость параллельна сама се-
            r                                                     r
бе. Вектор t касательной остается перпендикулярным вектору b , это век-
тор соприкасающейся плоскости, т.е. соприкасающаяся плоскость не из-
меняет своего положения при движении    r точки по кривой, она скользит са-
ма по себе. Это означает, что кривая r ( s ) лежит в своей соприкасающейся
плоскости.




                                              54