Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 55 стр.

                                            r
         Обратно, если кривая r (s ) плоская, то векторами ее плоскости яв-
            r       r               r
ляются t и n , вектор b имеет постоянное направление, перпендикуляр-
                                                                                       r&    r
ное плоскости кривой, и длина его постоянна, следовательно, b = o и кру-
чение кривой равно нулю. Получена
                                           r
      9.4.1. ТЕОРЕМА. Кручение k 2 кривой r (s ) равно нулю, если и толь-
               r
ко если кривая r ( s ) плоская. #
         Кроме того, выполняется
      9.4.2. СВОЙСТВО. Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся
плоскости. #
      Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости, вектор
             r
ее нормали b в этом случае постоянен, скорость его вращения равна нулю,
поэтому кручение плоской кривой равно нулю.
      Пусть теперь k1 = 0 . Используем определение кривизны кривой, п.
     r          r                                               r
9.1: t& = k1n . При k1 = 0 вектор касательной t имеет неизменное направ-
                r
ление, тогда r ( s ) – прямая линия. Верно и обратное. Справедлива
                                             r
        9.4.3. ТЕОРЕМА. Кривизна k1 линии r ( s ) равна нулю, если и только
       r
если r (s ) прямая линия. #
                                r       r       r                   r r
     Если k1 = 0 , то t& = &r& = o и о векторах n , b ничего сказать нельзя.
Точки кривой, в которых k1 = 0 , называются точками распремления.

    9.5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И
КРУЧЕНИЯ
    r r КРИВОЙ. Если кривая задана в естественной параметриза-
ции r = r (s ) , то согласно п. 9.1, по определению кривизны кривой,
      r
k1 = &r& , следовательно,
                                        k1 = &x&2 + &y&2 + &z&2
                                                                   r
есть формула для вычисления кривизны k1 кривой r ( s ) в естественной па-
раметризации. Для вычисления кручения k 2 воспользуемся векторами про-
               r r r
изводных r& , &r&, &r&& . Имеем:
  r r r           r r           r      r      r              r   r          r      r        r
 r& = t , &r& = k1n , &r&& = k&1n + k1n& = k&1n + k1 (− k1t + k 2b ) = − k&1t + k&1n + k1k 2b .
Здесь мы взяли вторую формулу Френе. Вычислим смешанное произведе-
              r r r
ние векторов r& , &r&, &r&& , учитывая
                                                    r r         r
(9.5.1)                                            r& × &r& = k1b .
           rrr           r r r            r        r        r       r           r
          r& &r&&r&& = (r& × &r&)&r&& = k1b ( − k&1t + k&1n + k1k 2b ) = k12 k 2b 2 = k12 k 2 .




                                                    55