Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 57 стр.

                     ( y ′z ′′ − y ′′z ′) 2 − ( x′z ′′ − x′′z ′) 2 + ( x′y ′′ − x′′y ′) 2
            k1 =                                                                            ,
                                         ( x′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 2
                ( y ′z ′′ − y ′′z ′) x′′′ − ( x′z ′′ − x′′z ′) y′′′ + ( x′y ′′ − x′′y ′) z ′′′
           k2 =                                                                                .
                   ( y ′′z ′ − y ′′z ′) 2 − ( x′z ′′ − x′′z ′) 2 + ( x′y ′′ − x′′y ′) 2
                      r                                                       r
      Если кривая r (t ) задана в плоскости Oxy , т.е. r (t ) = ( x(t ), y (t )) , то
k2 = 0 , и
                                              | x′y ′′ − x′′y ′ |
                                     k1 = 2                       .
                                             ( x′ + y ′ 2 ) 3 2

       9.6. ПРЯМАЯ, ОКРУЖНОСТЬ, ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ. Выше, в п.
9.1, установлено, что кривизна прямой линии равна нулю, также и круче-
ние ее равно нулю:
                                  k1 = 0 , k 2 = 0 .
       Рассмотрим окружность радиуса a :
                              x = a cos t , y = a sin t .
Находим:      x′ = −a sin t ,     y ′ = a cos t ;    x′′ = −a cos t , y ′′ = − a sin t ;
x′2 + y ′ 2 = a 2 , x′y ′′ − y ′x′′ = a 2 ,
                                                     1
                                              k1 =     .
                                                     a
Кривизна окружности постоянна и обратна ее радиусу. Кручение k 2 = 0 ,
т.к. линия плоская, п. 9.1.
       Винтовая линия задается уравнениями
                       x = a cos t , y = a sin t , z = bt .
Она намотана на круглый цилиндр радиуса a и шаг линии равен b . Вы-
числения дают:        x′ = −a sin t , y ′ = a cos t , z ′ = b ; x′′ = −a cos t ,
                                                                              r
y ′′ = − a sin t , z ′′ = 0 ; x′′′ = a sin t , y ′′′ = −a cos t , z ′′′ = 0 . r ′ = a 2 + b 2 ,
r r                               r r r
r ′ × r ′′ = = a a 2 + b 2 , r ′ r ′′ r ′′′ = a 2b .
                        r r                              r r r
                       r ′ × r ′′         a              r ′ r ′′ r ′′′    b
                k1 = r 3 = 2                    ; k2 = r r 2 = 2                  .
                         r′          a +b     2
                                                        (r ′ × r ′′)    a + b2
Кривизны винтовой линии постоянны.

   9.7. ЗАДАНИЕ КРИВОЙ ФУНКЦИЯМИ КРИВИЗНЫ И КРУ-
ЧЕНИЯ. Оказывается, имея функции кривизны и кручения
                     k1 = k1 ( s ) >0 и k 2 = k 2 ( s )




                                                57