Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

59
Подставим эти выражения в разложение
r
r
Δ
и напишем разложение
r
r
Δ в
базисе
),,( bnt
r
r
r
:
r
r
Δ =
bskknskts
r
r
r
...)
6
1
(...)
2
1
(...)(
3
21
2
1
+Δ++Δ++Δ
.
В таблицах ниже показано, как изменяются знаки проекций вектора
r
r
Δ
на
векторы репера
),,,( bntP
r
r
r
при переходе точки
M
через точку
P
, т.е. при
изменении знака
s
Δ
с – на +.
+−
++
+−
>
b
n
t
k
r
r
r
0
2
−+
++
+−
<
b
n
t
k
r
r
r
0
2
Кривая
)(
s
r
в окрестности точки
P
при 0
2
>k проектируется сначала на
вектор
t
r
−
, затем на вектор
t
r
+
; проектируется только на вектор n
r
+ и
проектируется сначала на вектор
b
r
−
, затем на вектор b
r
+
. Значит, при
0
2
>k
кривая в окрестности точки
P
закручивается правым винтом. При
0
2
<k
кривая в окрестности точки
P
закручивается левым винтом.
§ 10. Поверхности евклидова пространства
10.1. РЕГУЛЯРНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. На евклидовой плоскости
2
E
выбрана некоторая область
D
, гомеоморфная прямоугольнику. Можно
считать, что
D
прямоугольник. Он состоит из точек
),( vu
H
,
D
=
],[],[ dcba × , т.е. bua ≤
≤
, dvc
≤
≤ и
∈
),( vu ,
2
RD ⊆ область D может
совпадать с
2
R
. Плоскость
2
E
есть пара
),(
2
μ
R
, где
μ
евклидова метри-
ка на
2
R
. Задано отображение
3
: ED →
π
плоской области
D в евклидово пространство
3
E =
),(
3
μ
R
, в котором
точке
),( vu
H
из
D
соответствует точка
),,( zy
x
P
из
3
E
, в
P
H
→:
π
.
Отображение
π
является гомеоморфным – взаимно однозначным и взаим-
но непрерывным. В
3
E
выбран ортонормированный репер
),,,( kjiO
r
r
r
. При
изменении точки
H
в области
D
изменяется точка
P
в пространстве
3
E
.
Координаты
zy
x
,, точки
P
являются функциями координат точки
H
: 
                                                r                                 r
Подставим эти выражения в разложение Δr и напишем разложение Δr в
        r r r
базисе (t , n , b ) :
             r             r 1                r 1                    r
            Δr = (Δs + ...)t + ( k1Δs 2 + ...)n + ( k1k 2 Δs 3 + ...)b .
                                2                  6                          r
В таблицах ниже показано, как изменяются знаки проекций вектора Δr на
                    r r r
векторы репера ( P, t , n , b ) при переходе точки M через точку P , т.е. при
изменении знака Δs с – на +.
                         k2 > 0              k2 < 0
                     r                   r
                     t   −     +         t     −    +
                     r                   r
                     n   +     +         n     +    +
                     r                   r
                     b   −     +         b     +    −
         r
Кривая r (s ) в окрестности точки P при k 2 > 0 проектируется сначала на
           r                    r                                   r
вектор − t , затем на вектор + t ; проектируется только на вектор + n и
                                     r                   r
проектируется сначала на вектор − b , затем на вектор + b . Значит, при
k 2 > 0 кривая в окрестности точки P закручивается правым винтом. При
k 2 < 0 кривая в окрестности точки P закручивается левым винтом.


                § 10. Поверхности евклидова пространства

     10.1. РЕГУЛЯРНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. На евклидовой плоскости
  2
E выбрана некоторая область D , гомеоморфная прямоугольнику. Можно
считать, что D прямоугольник. Он состоит из точек H (u , v) , D =
[a, b] × [c, d ] , т.е. a ≤ u ≤ b , c ≤ v ≤ d и (u , v) ∈ D ⊆ R 2 , область D может
совпадать с R 2 . Плоскость E 2 есть пара ( R 2 , μ ) , где μ евклидова метри-
ка на R 2 . Задано отображение
                                   π : D → E3
плоской области D в евклидово пространство E 3 = ( R 3 , μ ) , в котором
точке H (u , v) из D соответствует точка P ( x, y, z ) из E 3 , в π : H → P .
Отображение π является гомеоморфным – взаимно однозначным и взаим-
                                                                 r r r
но непрерывным. В E 3 выбран ортонормированный репер (O, i , j , k ) . При
изменении точки H в области D изменяется точка P в пространстве E 3 .
Координаты x, y, z точки P являются функциями координат точки H :




                                        59

Страницы