Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 58 стр.

иr формулы Френе,                   п. 9.3, можно получить векторное задание кривой
r ( s ) = ( x( s ), y ( s ), z ( s )) в некотором репере пространства. Функции кри-
визны и кручения называются натуральными уравнениями кривой. Этих
функций две, а определяются три функции x( s ), y ( s ), z ( s ) . Зависимости
между векторами подвижного репера кривой и производными этих векто-
                                                          r
ров позволяет найти компоненты функции r (s ) по функциям k1 ( s ) и
k 2 ( s ) , см. [2, 20]. Кривая натуральными уравнениями определяется с точ-
ностью до положения в пространстве.

      9.8. ЛИНИИ ПОСТОЯННЫХ КРИВИЗН. Евклидово пространство
обладает только следующими линиями, имеющими постоянную кривизну
k и постоянное кручение m :
              r
   (1) прямая r (t ) = ( a1t + b1 , a 2t + b 2 , a 3t + b 3 ) , k = m = 0 ;
                        r                                       1
   (2) окружность r (t ) = ( R cos t , R sin t ,0), k =           , m = 0;
                                                                R
   (3) винтовая                                                              линия
       r                                             k              m
       r (t ) = (a cos t , a sin t , bt ), a =            , b =          .
                                                 k 2 + m2       k 2 + m2

      9.9. СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОБЫКНОВЕННОЙ  r                   ТОЧ-
КИ. Пусть P точка регулярной плоской кривой r (s ) . Если кривизна кри-
                                                                      r
вой в точке P равна нулю, то в малой окрестности этой точки линия r (s )
есть отрезок прямой. Если в точке P кривизна k1 = a ≠ 0 , то в малой окре-
                        r                                              1
стности этой точки r (s ) есть дуга окружности радиуса                   .
                                                            r          a
      Рассмотрим пространственную кривую r ( s ) в сопровождающем ре-
          r r r
пере ( P, t , n , b ) . Если в точке P кривой k 2 = 0 , то кривая плоская и она
описана выше, п. 9.4. Пусть k1 ≠ 0 , k 2 ≠ 0 в точке P = P (s ) и пусть M =
                                                    r
M ( s + Δs ) близкая к точке P точка кривой r (s ) . Для малого Δs дугу
                                      r
PM можно заменить вектором Δr . Имеется разложение в ряд Тейлора
                   r r     1r        1r                r
                Δr = r&Δs + &r&Δs 2 + &r&&Δs 3 + ... + o (Δs 3 ) ,
                           2         6
            r& &r& &r&&                          r
производные r , r , r вычислены в точке P , o ( Δs 3 ) – слагаемое более
высокого порядка малости, чем Δs 3 . В п. 9.5 выписаны выражения векто-
ров производных в сопровождающем репере кривой
                 r r r           r r             r      r        r
                r& = t , &r& = k1n , &r&& = − k&1t + k&1n + k1k 2b .




                                                 58