Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
),( vu
x
x
=
,
),( vuy =
,
),( vuzz
=
,
D
∈
),( vu
.
Эти функции непрерывны, ввиду того, что отображение
π
гомеоморфно.
Таким образом, имеется векторная функция двух параметров
r
r
=
),( vu
r
r
=
)),(),,(),,(( vuzvuyvu
x
,
D
∈
),( vu
.
Отображение
π
и образ области D в отображении
π
называется
поверхностью. Поверхность есть множество точек
Π =
)),(),,(),,((|{ vuzvuyvu
x
O
P
P
=
,
D
∈
),( vu
.
Задается поверхность векторной функцией
r
=
),( vu
r
r
.
Поверхность
Π
составляют концы векторов
O
P
r
=
, поэтому поверхность
Π
называется годографом функции
),( vu
r
.
Наложим на функцию
r
r
=
),( vu
r
r
условия
(1)
),( vu
r
есть функция класса
3
C
, т.е. существуют непрерывные частные
производные этой функции до третьего порядка включительно.
(2) Векторы
u
r
r
=
u
r
∂
∂
r
,
v
r
r
=
v
r
∂
∂
r
неколлинеарны в точках области D. Не-
коллинеарность векторов означает, в частности, что они ненулевые, а так-
же означает, что ранг следующей матрицы равен 2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
vvv
uuu
zyx
zyx
.
Поверхность, заданная векторной функцией с указанными условия-
ми, называется регулярной класса
3
C
. Область D задания поверхности
можно считать окрестностью всякой ее внутренней точки
),( vu
H
,
bua ≤≤
,
dvc
≤
≤
. Всякая точка регулярной поверхности называется
обыкновенной. Мы изучаем поверхности в окрестности обыкновенной точ-
ки.
10.2. ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ. Фиксируя на поверхности
),( vu
r
один из параметров, получаем на поверхности регулярную кривую,
см. п. 8.1. Имеем следующие линии:
u -линии поверхности, это линии ),(
o
vur
r
, constvv
o
=
;
v
-линии
),( vur
o
r
,
constuu
o
=
.
Всякие две
−
u
линии и всякие две
−
v
линии поверхности не пересекаются.
Чрез каждую точку поверхности проходит единственная
−u
линия и един-
ственная
−v
линия. Таким образом, на поверхности имеется криволиней-
ная координатная сеть. С каждой точкой
P
поверхности связан репер
),,,(
vuvu
rrrrP
r
rrr
×
; производные
vu
rr
r
r
,
вычислены в точке
P
, 
                   x = x(u , v) , y = (u , v) , z = z (u, v) , (u, v) ∈ D .
Эти функции непрерывны, ввиду того, что отображение π гомеоморфно.
Таким образом,
             r имеется
                 r        векторная функция двух параметров
             r = r (u , v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) , (u, v) ∈ D .
     Отображение π и образ области D в отображении π называется
поверхностью. Поверхность есть множество точек
            Π = {P | OP = ( x(u , v), y (u, v), z (u , v)) , (u , v) ∈ D .
     Задается поверхность векторнойr r функцией
                                  r = r (u , v) .
                                                                 r
Поверхность Π составляют концы векторов   r            OP    =   r , поэтому поверхность
Π называется годографом функции r (u , v) .
                               r r
     Наложим на функцию r = r (u, v) условия
      r
(1) r (u , v) есть функция класса C 3 , т.е. существуют непрерывные частные
    производные этой функции до третьего порядка включительно.
                        r         r
                  r    ∂r r      ∂r
(2)       Векторы ru =    , rv =    неколлинеарны в точках области D . Не-
                       ∂u        ∂v
коллинеарность векторов означает, в частности, что они ненулевые, а так-
же означает, что ранг следующей матрицы равен 2
                                     ⎛ xu    yu    zu ⎞
                                     ⎜⎜                 ⎟.
                                      ⎝ xv   yv    z v ⎟⎠
      Поверхность, заданная векторной функцией с указанными условия-
ми, называется регулярной класса C 3 . Область D задания поверхности
можно считать окрестностью всякой ее внутренней точки H (u , v) ,
a ≤ u ≤ b , c ≤ v ≤ d . Всякая точка регулярной поверхности называется
обыкновенной. Мы изучаем поверхности в окрестности обыкновенной точ-
ки.

r      10.2. ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ. Фиксируя на поверхности
r (u, v) один из параметров, получаем на поверхности регулярную кривую,
см. п. 8.1. Имеем следующие линии:
                                          r
u -линии поверхности, это линии r (u , vo ) , v = vo const ;
              r
v -линии r (u o , v) , u = u o const .
Всякие две u − линии и всякие две v − линии поверхности не пересекаются.
Чрез каждую точку поверхности проходит единственная u − линия и един-
ственная v − линия. Таким образом, на поверхности имеется криволиней-
ная координатная сеть. С каждой точкой P поверхности связан репер
     r r r r                           r r
( P, ru , rv , ru × rv ) ; производные ru , rv вычислены в точке P ,




                                             60

Страницы