Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

62
10.4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПО-
ВЕРХНОСТИ. В произвольной точке
P
поверхности
),( vu
r
r
зададим на-
правление, выбрав
)(
t
uu = , )(
t
vv = . Отношение дифференциалов
dv
du
=
)(
)(
tv
tu
′
′
определяет направление на поверхности, имеем
r
d
r
= dvrdur
vu
r
r
+
.
Производная от ),( vu
r
r
по направлению dvdu : имеет вид
ds
dv
r
ds
du
r
ds
rd
vu
rr
r
+=
.
Малое смещение
ds
по кривой
))(),((
t
v
t
u
r
r
на поверхности вычисляется
на основании равенств
ds
=
rd
r
=
dvrdur
vu
r
r
+
.
Отсюда получаем, вычисляя скалярный квадрат
2
)( dvrdur
vu
rr
+ =
2
dvrdur
vu
rr
+
(10.4.1)
2
ds =
2
2
2
2
2 dvrdudvrrdur
vvuu
r
r
r
r
++
.
Введем обозначения:
(10.4.2)
EvuEr
u
== ),(
2
r
,
FvuFrr
vu
=
=
),(
r
r
,
GvuGr
v
== ),(
2
r
.
Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки
P
по-
верхности. Выражение
(10.4.2)
=
2
ds
=
22
2 Gdv
F
dudvEdu
+
+
называется первой основной квадратичной формой поверхности
),( vu
r
r
.
10.5. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ. Малое расстояние
ds
на
поверхности
),( vu
r
r
в направлении
dvdu :
может быть найдено по первой
квадратичной форме
ds
=
22
2 GdvFdudvEdu ++
.
На этом основании первая квадратичная форма поверхности определяет
метрику на поверхности. Матрица Грама этой метрики:
)(
ij
g
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
GF
FE
,
2
ds =
2
2212
2
11
2 dvgdudvgdug ++
,
см. пп. 4.1, 4.2. Детерминант метрической формы равен
2
FEGg
ij
−=
. 
     10.4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ                   r ФОРМА ПО-
ВЕРХНОСТИ. В произвольной точке P поверхности r (u , v) зададим на-
правление, выбрав u = u (t ) , v = v(t ) . Отношение дифференциалов
                                    du u ′(t )
                                      =
                                    dv v′(t )
определяет направление на поверхности, имеем
                               r r         r
                              dr = ru du + rv dv .
               r
Производная от r (u , v) по направлению du : dv имеет вид
                         r
                        dr r du r dv
                           = ru      + rv .
                        ds r ds             ds
Малое смещение ds по кривой r (u (t ), v(t )) на поверхности вычисляется
на основании равенств
                                  r   r       r
                            ds = dr = ru du + rv dv .
                                                                       r       r
Отсюда    получаем,     вычисляя       скалярный        квадрат      ( ru du + rv dv) 2   =
r       r 2
ru du + rv dv
                                 r            rr           r
(10.4.1)                  ds 2 = ru 2 du 2 + 2ru rv dudv + rv 2 dv 2 .
Введем обозначения:
                r2                   rr                       r2
(10.4.2)     ru = E (u , v) = E , ru rv = F (u , v) = F , rv = G (u , v) = G .
Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки P по-
верхности. Выражение
(10.4.2)             I = ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2                   r
называется первой основной квадратичной формой поверхности r (u , v) .

     10.5. МЕТРИКА НА ПОВЕРХНОСТИ. Малое расстояние ds на
            r
поверхности r (u , v) в направлении du : dv может быть найдено по первой
квадратичной форме
                        ds =    Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 .
На этом основании первая квадратичная форма поверхности определяет
метрику на поверхности. Матрица Грама этой метрики:
                                           ⎛E F⎞
                                ( g ij ) = ⎜⎜   ⎟⎟ ,
                                           ⎝ F G⎠
                      ds 2 = g11du 2 + 2 g12 dudv + g 22 dv 2 ,
см. пп. 4.1, 4.2. Детерминант метрической формы равен
                               g ij = EG − F 2 .




                                          62

Страницы