Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

63
Для любых векторов
a
r
и b
r
, угол между которыми равен
α
, имеем
α
sinbaba
r
r
r
r
=×
,
a
r
b
r
=
α
cosba
r
r
,
поэтому верно соотношение
2222
)()( bababa
r
r
r
r
r
r
=+× .
Перепишем это равенство для
vu
rr
r
r
,
:
2
)(
v
u
rr
r
r
× +
2
)(
v
u
rr
r
r
=
22
vu
rr
r
r
.
Отсюда, используя обозначения (10.4.2), находим
(10.5.1)
2
)(
vu
rr
r
r
×
=
22
vu
rr
r
r
-
2
)(
vu
rr
r
r
=
2
F
E
G
−
,
||
vu
rr
r
r
×
=
2
FEG −
.
Вместе с тем, получено
0
2
>−= FEGg
ij
и детерминант первой квадратичной формы есть ее дискриминант.
Длину дуги кривой, проходящей через точку
P
в направлении
dvdu : можно вычислить на основании дифференциала дуги ds (10.4.1):
=
∫
++
1
0
22
2
t
t
GdvFdudvEdu = dt
dt
dv
G
dt
dv
dt
du
F
dt
du
E
t
t
∫
++
1
0
22
)(2)( .
Если через точку
P
проходит еще одна линия ))(),((
11
tvtur
r
в направлении
11
: dvdu , то угол
ϕ
между кривыми ))(),((
v
u
r
r
и ))(),((
11
tvtur
r
есть угол
между векторами
r
d
r
= dvrdur
vu
r
r
+ и rd
r
1
=
11
dvrdur
vu
r
r
+
и может быть
найден из формулы
ϕ
cos =
rdrd
rdrd
rr
r
r
1
1
=
2
111
2
1
22
1111
22
)(
GdvdvFduEduGdvFdudvEdu
GdvdvdvdududvFEdudu
++++
+
+
+
.
Если первое направление есть направление
−
u линии: 0>du , 0=dv , вто-
рое направление есть направление
−
v
линии:
0
1
=
du
,
0
1
>dv
, и
ϑ
угол
между −u линией и −v линией, то
ϑ
cos
=
1
1
dvGduE
Fdudv
=
EG
F
.
Выполняется:
090 =⇔
=
F
o
ϑ
.
Элемент площади фигуры на поверхности равен
σ
d
=
2
vu
rr
r
r
×
и по (10.5.1): 
                               r r
         Для любых векторов a и b , угол между которыми равен α , имеем
                       r r r r             rr    r r
                       a × b = a b sin α , a b = a b cosα ,
поэтому верно соотношение
                          r r           rr        r r
                         (a × b ) 2 + (ab ) 2 = a 2 b 2 .
                                r r
Перепишем это равенство для ru , rv :
                       r r             r r         r r
                     ( ru × rv ) 2 + ( ru rv ) 2 = ru 2 rv 2 .
Отсюда, используя обозначения (10.4.2), находим
               r   r     r2 r2      r r                      r   r
(10.5.1) ( ru × rv ) 2 = ru rv - ( ru rv ) 2 = EG − F 2 , | ru × rv | =   EG − F 2 .
Вместе с тем, получено
                                  g ij = EG − F 2 > 0
и детерминант первой квадратичной формы есть ее дискриминант.
      Длину дуги кривой, проходящей через точку P в направлении
du : dv можно вычислить на основании дифференциала дуги ds (10.4.1):
          t1                                t1
                                            du 2          du dv            dv
          ∫                                 ∫
                   2                  2
    l=         Edu + 2 Fdudv + Gdv =            ) + 2F
                                                 E(                 + G ( ) 2 dt .
        t0                         t0       dt             dt dt           dt
                                                   r
Если через точку P проходит еще одна линия r (u1 (t ), v1 (t )) в направлении
                                     r                  r
du1 : dv1 , то угол ϕ между кривыми r (u (t ), v(t )) и r (u1 (t ), v1 (t )) есть угол
                      r   r     r          r        r       r
между векторами dr = ru du + rv dv и d1r = ru du1 + rv dv1 и может быть
найден из формулы
                                         r     r
                                        dr d1 r
                              cos ϕ =     r     r =
                                         dr d1r
                       Edudu1 + F (dudv1 + du1dv) + Gdvdv1
                                                                           .
            Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2 Edu12 + 2 Fdu1dv1 + Gdv12
Если первое направление есть направление u − линии: du > 0 , dv = 0 , вто-
рое направление есть направление v − линии: du1 = 0 , dv1 > 0 , и ϑ угол
между u − линией и v − линией, то
                                Fdudv1         F
                      cosϑ =              =       .
                               E du G dv1      EG
Выполняется: ϑ = 90 o ⇔ F = 0 .
    Элемент площади фигуры на поверхности равен
                                         r r          2
                                    dσ = ru × rv
и по (10.5.1):




                                           63

Страницы