Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

65
r
&&
r
=
2
2
2
2
2
2
)()(
ds
vd
r
ds
dv
r
ds
du
ds
dv
r
ds
dv
ds
du
r
ds
ud
r
ds
du
r
vvvvuuvuuu
rrrrrr
+++++
,
n
k =
r
&&
r
m
r
=
22
)(2)(
ds
dv
mr
ds
dv
ds
du
mr
ds
du
mr
vvuvuu
rrrrrr
++
,
здесь
0=mr
u
rr
и 0
=
mr
v
r
r
, так как
⊥
m
r
vu
rr
r
r
, . Обозначим:
Lmr
uu
=
r
r
, Mmr
uv
=
r
r
, Nmr
vv
=
r
r
.
На основании (11.1.1) и (10.5.1) имеем
2
FEG
rrr
L
uuvu
−
=
r
r
r
;
2
FEG
rrr
M
uvvu
−
=
r
r
r
;
2
FEG
rrr
N
vvvu
−
=
r
r
r
.
Коэффициенты
N
M
L
,, вычислены в точке
P
поверхности. Выражение
для нормальной кривизны линии на поверхности таково
(11.1.3)
n
k
=
22
)(2)(
ds
dv
N
ds
dv
ds
du
M
ds
du
L
++ .
Отсюда получаем
n
k =
2
22
2
ds
NdvMdudvLdu ++
.
Воспользуемся значением
2
ds
из первой квадратичной формы (10.4.3) по-
верхности
(11.1.4)
n
k
=
22
22
2
2
Gd
F
dudvEdu
NdvMdudvLdu
+
+
++
.
Квадратичная форма
I
I
=
22
2
N
d
v
M
dudv
L
du
+
+
называется второй квадратичной формой поверхности. Таким образом,
нормальная кривизна поверхности есть отношение второй и первой квад-
ратичных форм поверхности.
Рассмотрим на поверхности кривые, проходящие через точку
P
и
имеющие с кривой
)(
s
r
r
общую соприкасающуюся плоскость. У этих кри-
вых общий вектор касательной
r
&
r
и общий вектор кривизны
r
&&
r
. Среди этих
кривых находится плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости
〉〈 rrP
&&
r
&
r
,,
, эта плоскость содержит и нормаль
m
r
поверхности. Следователь-
но, выполняется
11.1.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности в точке
P
есть кривизна нормального сечения поверхности. #
11.2. ИНДИКАТРИСА КРИВИЗНЫ. В точке
P
поверхности
Π
),(
v
u
r
r
рассматриваем касательную плоскость
π
〉
〈
vu
rrP
r
r
,, . Во всех на-
                                2                                           2
     &rr& = rr ( du ) 2 + rr d u + rr du dv + rr dv du + rr ( dv ) 2 + rr d v ,
              uu            u         uv          vu          vv         v
                  ds          ds 2       ds ds       ds ds        ds       ds 2
                        r r r r du              r r du dv r r dv 2
                 k n = &r& m = ruu m( ) 2 + 2ruv m         + rvv m( ) ,
        r r          r r              ds  r r r      ds ds         ds
здесь ru m = 0 и rv m = 0 , так как m⊥ ru , rv . Обозначим:
                            r r          r r         r r
                            ruu m = L , ruv m = M , rvv m = N .
На основании (11.1.1) и (10.5.1) имеем
                    rrr                    rrr               rrr
                    ru rv ruu              ru rv ruv         ru rv rvv
             L=        ; M =            ; N=           .
              EG − F 2         EG − F 2       EG − F 2
Коэффициенты L, M , N вычислены в точке P поверхности. Выражение
для нормальной кривизны линии на поверхности таково
                                     du 2      du dv      dv
(11.1.3)                  k n = L(      ) + 2M       + N ( )2 .
                                     ds        ds ds      ds
Отсюда получаем
                         Ldu 2 + 2 Mdudv + Ndv 2
                    kn =                         .
                                    ds 2
Воспользуемся значением ds 2 из первой квадратичной формы (10.4.3) по-
верхности
                                     Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2
(11.1.4)                        kn =                         .
                                     Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2
Квадратичная форма
                            II = Ldu 2 + 2 Mdudv + Ndv 2
называется второй квадратичной формой поверхности. Таким образом,
нормальная кривизна поверхности есть отношение второй и первой квад-
ратичных форм поверхности.
     Рассмотрим наr поверхности кривые, проходящие через точку P и
имеющие с кривой r (s ) общую соприкасающуюся плоскость. У этих кри-
                                       r                                 r
вых общий вектор касательной r& и общий вектор кривизны &r& . Среди этих
кривых находится плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости
      r r                                         r
〈 P, r& , &r&〉 , эта плоскость содержит и нормаль m поверхности. Следователь-
но, выполняется
           11.1.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности в точке P
есть кривизна нормального сечения поверхности. #

       11.2. ИНДИКАТРИСА КРИВИЗНЫ. В точке P поверхности Π
r                                                   r r
r (u, v) рассматриваем касательную плоскость π 〈 P, ru , rv 〉 . Во всех на-




                                           65

Страницы