Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 67 стр.

(б) LN − M 2 < 0 . Индикатриса есть пара гипербол. Точка P называется
гиперболической. Касательная плоскость π пересекается с поверхностью
Π по двум прямым – асимптотам гипербол.
(в) LN − M 2 = 0 . Индикатриса есть две параллельные прямые. Точка P
называется параболической. Касательная плоскость π пересекает поверх-
ность
Π по прямой.
(г) L = M = N = 0 . Индикатриса превращается в точку. P называется
точкой уплощения. В этой точке по всем направлениям k n = 0 . Если Π –
плоскость, то всякая ее точка есть точка уплощения.
      Направление на поверхности называется асимптотическим, если
нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю: k n = 0 .
В асимптотическом направлении касательная плоскость к поверхности пе-
ресекается с поверхностью по прямой. Из предыдущего видно, что в эл-
липтической точке асимптотических точек нет (а), в гиперболической точ-
ке имеется два асимптотических направления (б), в параболической точке
– одно асимптотическое направление (в); в точке уплощения всякое на-
правление является асимптотическим (г).

     11.4. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ. Относитель-
но линий второго порядка на плоскости определены сопряженные направ-
ления. У эллипса (гиперболы, параболы, пары прямых) середины семейст-
ва параллельных хорд коллинеарны. Направления на плоскости, опреде-
ляемые хордами и серединами параллельных хорд называются сопряжен-
ными. Взаимно перпендикулярные сопряженные направления называются
главными. Относительно всякой линии второго порядка на плоскости су-
ществует или единственная пара главных направлений, или для любого
направления имеется перпендикулярное сопряженное направление – как
относительно окружности.
     Индикатриса Дюпена в касательной плоскости поверхности в точке
касания определяет главные направления. Кривизны нормальных сечений
поверхности в главных направлениях называются главными кривизнами.
Их обозначение: k n1 , k n2 . Произведение
                               K = k n1 k n2
называется полной или гауссовой кривизной поверхности в данной точке
P – в точке, где вычисляются коэффициенты квадратичных форм по-
верхности и рассматривается касательная плоскость. Полусумма
                               1
                            H = (k n1 + k n2 )
                               2



                                   67