Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

68
называется средней кривизной поверхности в точке
P
.
11.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН ПО-
ВЕРХНОСТИ. Рассматриваем регулярную поверхность
),(
v
u
r
r
в окрест-
ности точки
P
. Дифференциалы dvdu, из (11.2.1) подставим в выражение
(11.1.4) для нормальной кривизны поверхности. После сокращение на
n
k
2
ds приходим к равенству
n
k =
22
22
2
2
GyFxyEx
NyMxyLx
++
++
.
Отсюда получаем
0)()(2)(
22
=++−+− yGkNxyFkMxEkL
nnn
.
Дифференцируем это равенство по
x
и по y :
⎩
⎨
⎧
=−+−
=
−
+
−
.0)()(
,0)()(
yGkNxFkM
yFkMxFkL
nn
nn
Главные направления в касательной плоскости определяются этой систе-
мой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае
0=Δ
.
0=
−−
−
−
=Δ
GkNFkM
FkMEkL
nn
nn
.
Значение определителя
0)2()(
22
2
=−++−−− MLNGLFMENkFTGk
nn
.
Главные кривизны
21
,
nn
kk
есть корни выписанного уравнения. Воспользу-
емся теоремой Виетта:
2
2
21
F
E
G
MLN
kkK
nn
−
−
==
,
2
21
)(
2
1
F
E
G
GLFMEN
kkH
nn
−
+
−
=+=
.
Полная и средняя кривизны поверхности найдены без вычисления главных
кривизн.
11.6. ПЛОСКОСТЬ, СФЕРА, ПСЕВДОСФЕРА. Проведем вычис-
ления кривизн для указанных поверхностей.
(а) Плоскость. Ее задание
),( vu
r
=
),,(
333222111
avqupavqupavqup ++++++
.
Находим частные производные:
),,(
321
pppr
u
=
r
,
),,(
321
qqqr
v
=
r
,
0=
=
=
vvuvuu
rrr
r
r
r
.
По вычислительным формулам для
N
M
L
,, , п. 11.1, имеем:
0===
N
M
L
. Значит, см. формулы для
K
и
H
в п. 11.5, 
называется средней кривизной поверхности в точке P .

        11.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛНОЙ И СРЕДНЕЙ КРИВИЗН      r          ПО-
ВЕРХНОСТИ. Рассматриваем регулярную поверхность r (u , v) в окрест-
ности точки P . Дифференциалы du, dv из (11.2.1) подставим в выражение
(11.1.4) для нормальной кривизны поверхности. После сокращение на
k n ds 2 приходим к равенству
                                      Lx 2 + 2 Mxy + Ny 2
                               kn =                       .
                                      Ex 2 + 2 Fxy + Gy 2
Отсюда получаем
           ( L − k n E ) x 2 + 2( M − k n F ) xy + ( N + k n G ) y 2 = 0 .
Дифференцируем это равенство по x и по y :
                      ⎧( L − k n F ) x + ( M − k n F ) y = 0,
                      ⎨
                      ⎩( M − k n F ) x + ( N − k n G ) y = 0.
Главные направления в касательной плоскости определяются этой систе-
мой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае Δ = 0 .
                                  L − kn E    M − kn F
                             Δ=                        = 0.
                                  M − kn F    N − knG
Значение определителя
             k n 2 (TG − F 2 ) − k n ( EN − 2 FM + GL) + LN − M 2 = 0 .
Главные кривизны k n1 , k n2 есть корни выписанного уравнения. Воспользу-
емся теоремой Виетта:
                           LN − M 2       1 1                 EN − FM + GL
        K = k n1 k n 2 =            , H =   ( k n + k n
                                                        2
                                                          ) =              .
                           EG − F 2       2                     EG − F 2
Полная и средняя кривизны поверхности найдены без вычисления главных
кривизн.

     11.6. ПЛОСКОСТЬ, СФЕРА, ПСЕВДОСФЕРА. Проведем вычис-
ления кривизн для указанных поверхностей.
(а) Плоскость. Ее задание
         r
         r (u , v) = ( p1u + q1v + a1 , p 2 u + q 2 v + a 2 , p 3u + q 3 v + a 3 ) .
Находим частные производные:
            r                         r                        r     r     r
            ru = ( p1 , p 2 , p 3 ) , rv = (q1 , q 2 , q 3 ) , ruu = ruv = rvv = 0 .
По вычислительным формулам для L, M , N , п. 11.1, имеем:
L = M = N = 0 . Значит, см. формулы для K и H в п. 11.5,




                                             68

Страницы