Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

69
0
=
K
,
0
=
H
.
Полная и средняя кривизны плоскости равны нулю.
(б) Сфера. Поверхность задается функцией
),(
v
u
r
r
= )sin,sincos,coscos( ua
v
ua
v
ua .
Находим частные производные:
u
r
r
= )cos,sinsin,cossin( ua
v
ua
v
ua −
−
,
v
r
r
=
)0,coscos,sincos( vuavua−
,
uu
r
r
= )sin,sincos,coscos( ua
v
ua
v
ua
−
−
− ,
uv
r
r
= )0,cossin,sinsin(
v
ua
v
ua
−
,
vv
r
r
= )0,sincos,coscos(
v
ua
v
ua
−
−
.
Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы сферы, см.
(10.4.2):
=
2
u
r
r
=
2
a ,
F
=
u
r
r
v
r
r
= 0,
2
v
r
r
= ua
22
cos .
Детерминант первой квадратичной формы:
2
F
E
G
−
=
ua
24
cos
.
Вычисляем коэффициенты второй квадратичной формы, п. 11.1:
u
r
r
×
v
r
r
=
)cossin,sincos,coscos(
22222
uuavuavua −−−
,
u
r
r
v
r
r
uu
r
r
=
ua cos
3
,
u
r
r
v
r
r
uv
r
r
= 0,
u
r
r
v
r
r
vv
r
r
=
ua
33
cos
.
2
FEG
rrr
L
uuvu
−
=
r
rr
= a ;
2
FEG
rrr
M
uvvu
−
=
r
r
r
= 0;
2
FEG
rrr
N
vvvu
−
=
r
r
r
= ua
2
cos .
Наконец, вычисляем полную и среднюю кривизну, п. 11.5:
2
2
F
EG
MLN
K
−
−
=
=
2
1
a
,
2
2
1
F
EG
GLFMEN
H
−
+
−
=
=
a
1
.
Полная и средняя кривизны сферы постоянны и положительны.
(в) Псевдосфера. Это поверхность, полученная в результате вращения
трактрисы
)(u
r
r
=
))
2
ln(cos,0,sin(
u
tguaua
+
вокруг оси
Oz
. Поверхность задается функцией
),(
v
u
r
r
=
))
2
ln(cos,cossin,cossin(
u
tguavuavua
+
.
Находим частные производные
u
r
r
=
)
sin
cos
,sincos,coscos(
2
u
u
avuavua
,
v
r
r
=
)0,cossin,sinsin(
v
ua
v
ua− , 
                                       K = 0, H = 0.
Полная и средняя кривизны плоскости равны нулю.
(б) Сфера. Поверхность
                    r         задается функцией
                   r (u , v) = (a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u ) .
Находим частные производные:
 r                                                                            r
ru        =         (− a sin u cos v,− a sin u sin v, a cos u ) ,             rv           =
(−a cos u sin v, a cos u cos v,0) ,
 r
ruu = (− a cos u cos v,− a cos u sin v,− a sin u ) ,
 r                                         r
ruv = (a sin u sin v,− a sin u cos v,0) , rvv = (− a cos u cos v,− a cos u sin v,0) .
Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы сферы, см.
(10.4.2):
                      r                r r        r
                  E = ru 2 = a 2 , F = ru rv = 0, rv 2 = a 2 cos 2 u .
Детерминант первой квадратичной формы:
                                EG − F 2 = a 4 cos 2 u .
Вычисляем коэффициенты второй квадратичной формы, п. 11.1:
r r
ru × rv = (− a 2 cos 2 u cos v,− a 2 cos 2 u sin v,− a 2 sin u cos u ) ,
r r r                   r r r           r r r
ru rv ruu = a 3 cos u , ru rv ruv = 0, ru rv rvv = a 3 cos 3 u .
           rrr                        rrr                        rrr
           ru rv ruu                  ru rv ruv                  ru rv rvv
   L=                 = a; M =                   = 0; N =                  = a cos 2 u .
          EG − F 2                    EG − F 2                   EG − F 2
Наконец, вычисляем полную и среднюю кривизну, п. 11.5:
                     LN − M 2   1        1 EN − FM + GL 1
               K=             =    , H =               = .
                     EG − F 2   a2       2   EG − F 2   a
Полная и средняя кривизны сферы постоянны и положительны.
(в) Псевдосфера. Это поверхность, полученная в результате вращения
трактрисы
                         r                                    u
                         r (u ) = (a sin u ,0, a(cos u + ln tg ))
                                                              2
вокруг оси Oz . Поверхность задается функцией
              r                                                         u
              r (u, v) = (a sin u cos v, a sin u cos v, a (cos u + ln tg )) .
                                                                        2
Находим частные производные
r                                                       cos 2 u                 r
ru        =          (a cos u cos v, a cos u sin v, a           ),              rv         =
                                                         sin u
(− a sin u sin v, a sin u cos v,0) ,




                                            69

Страницы