Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

71
Глава 4.
Основные понятия
внутренней геометрии поверхности
В евклидовой геометрии есть самостоятельный раздел, называемый
планиметрией. Свойства плоскости изучаются на основе взаимного распо-
ложения прямых плоскости, на свойствах расстояний между точками
плоскости и углов между плоскими линиями. Также можно изучать свой-
ства поверхностей, рассматривая ее геодезические линии и метрические
соотношения на основе метрики на поверхности. Этот раздел
дифференци-
альной геометрии называется внутренней геометрии поверхности. Дадим
обзор некоторых свойств поверхностей и ее внутренней геометрии.
§ 12. Об определяемости поверхности.
12.1. О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ. Свойства
поверхности, основанные на ее метрической форме, составляют внутрен-
нюю геометрию поверхности. А эти свойства, в свою очередь, основаны
на свойствах первой квадратичной формы поверхности. Внутренняя
гео-
метрия поверхности является аналогом метрической геометрии плоскости
– расстояния между точками измеряются отрезками прямых.
Длины отрезков кривых выражаются через коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности; через эти коэффициенты вычисляются
величины углов между линиями, площади участков поверхности. К внут-
ренней геометрии поверхности относится полная кривизна поверхности,
символы Кристоффеля, геодезическая кривизна поверхности
и геодезиче-
ские линии на поверхности.
Внутренняя геометрия поверхности аналогична евклидовой плани-
метрии – геометрии плоскости.
12.2. ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ПОВЕРХНОСТИ. Регу-
лярная поверхность класса
3
C
задается 2-параметрической векторной
функцией на некоторой связной области евклидовой плоскости:
r
r
=
),( vu
r
r
,
D
∈
),( vu
. 
                              Глава 4.

                    Основные понятия
             внутренней геометрии поверхности

      В евклидовой геометрии есть самостоятельный раздел, называемый
планиметрией. Свойства плоскости изучаются на основе взаимного распо-
ложения прямых плоскости, на свойствах расстояний между точками
плоскости и углов между плоскими линиями. Также можно изучать свой-
ства поверхностей, рассматривая ее геодезические линии и метрические
соотношения на основе метрики на поверхности. Этот раздел дифференци-
альной геометрии называется внутренней геометрии поверхности. Дадим
обзор некоторых свойств поверхностей и ее внутренней геометрии.


               § 12. Об определяемости поверхности.

      12.1. О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ. Свойства
поверхности, основанные на ее метрической форме, составляют внутрен-
нюю геометрию поверхности. А эти свойства, в свою очередь, основаны
на свойствах первой квадратичной формы поверхности. Внутренняя гео-
метрия поверхности является аналогом метрической геометрии плоскости
– расстояния между точками измеряются отрезками прямых.
      Длины отрезков кривых выражаются через коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности; через эти коэффициенты вычисляются
величины углов между линиями, площади участков поверхности. К внут-
ренней геометрии поверхности относится полная кривизна поверхности,
символы Кристоффеля, геодезическая кривизна поверхности и геодезиче-
ские линии на поверхности.
      Внутренняя геометрия поверхности аналогична евклидовой плани-
метрии – геометрии плоскости.

     12.2. ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ПОВЕРХНОСТИ. Регу-
лярная поверхность класса C 3 задается 2-параметрической векторной
функцией на некоторой связной
                        r r области евклидовой плоскости:
                        r = r (u, v) , (u , v) ∈ D .




                                 71

Страницы