Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

73
12.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Дифференцируем векторы
vuvvuvuu
nnrrr
r
r
r
r
r
,,,,
. Исходя из разложения векто-
ров
uvuvvuuv
nrr
r
r
r
,,
по подвижному базису
),,( nrr
vu
r
r
r
, на основе деривационных формул по-
верхности получаем: формулу Гаусса
))()((
2
1
4
1
2
u
uv
v
uv
vu
vu
vu
W
GF
W
FE
W
GGG
FFF
EEE
W
K
−
−
−
−=
,
две формулы Петерсона-Кодацци
0))(()(2 =+−+−−−
NGG
MFF
LEE
FEGLFMENMLW
u
u
u
uvuv
,
0))(()(2 =+−+−−−
NGG
MFF
LEE
GFGLFMENNMW
v
v
v
uvuv
.
Эти три формулы называются основными уравнениями поверхности.
Согласно формуле Гаусса, справедлива
12.3.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА. Полная кривизна поверх-
ности выражается только через коэффициенты первой квадратичной
формы поверхности и их производные. Следовательно, полная кривизна
поверхности является объектом внутренней геометрии поверхности.
Выполняется и следующее утверждение.
12.3.2. ТЕОРЕМА БОННЕ. Существует регулярная поверхность, для
которой заданные квадратичные формы
I
и
I
I
являются первой и вто-
рой квадратичными формами. Поверхность определяется однозначно с
точностью до положения в пространстве.
В доказательстве теоремы используются функции
),(),,(),,(
v
uGG
v
u
F
F
v
uEE
=
=
=
,
),(),,(),,( vu
N
N
vu
vu
L
L
=
=
=
,
заданные на области
D
евклидовой плоскости и формулы Гаусса – Петер-
сона – Кодацци. 
    12.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
                       r r r r r
Дифференцируем векторы ruu , ruv , rvv , nu , nv . Исходя из разложения векто-
ров
                               r       r     r
                               ruuv , ruvv , nuv
                      r r r
по подвижному базису (ru , rv , n ) , на основе деривационных формул по-
верхности получаем: формулу Гаусса
                 E Eu        Ev
             1                      1   E − Fu       F − Gu
         K=      F Fu        Fv −     (( v     )v − ( v     )u ) ,
            4W 2                  2 W      W            W
                 G Gu        Gv
две формулы Петерсона-Кодацци
                                                       E   Eu L
       2W ( Lv − M u ) − ( EN − FM + GL)( Ev − Fu ) + F    Fu M = 0 ,
                                                      G    Gu N
                                                       E   Ev L
       2W ( M v − N u ) − ( EN − FM + GL)( Fv − Gu ) + F   Fv M = 0 .
                                                       G   Gv N
Эти три формулы называются основными уравнениями поверхности.
      Согласно формуле Гаусса, справедлива
      12.3.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ГАУССА. Полная кривизна поверх-
ности выражается только через коэффициенты первой квадратичной
формы поверхности и их производные. Следовательно, полная кривизна
поверхности является объектом внутренней геометрии поверхности.
      Выполняется и следующее утверждение.
      12.3.2. ТЕОРЕМА БОННЕ. Существует регулярная поверхность, для
которой заданные квадратичные формы I и II являются первой и вто-
рой квадратичными формами. Поверхность определяется однозначно с
точностью до положения в пространстве.
      В доказательстве теоремы используются функции
                   E = E (u , v), F = F (u , v), G = G (u , v) ,
                  L = L(u , v), M = M (u , v), N = N (u , v) ,
заданные на области D евклидовой плоскости и формулы Гаусса – Петер-
сона – Кодацци.




                                     73

Страницы