Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

74
§ 13. Геодезическая кривизна поверхности.
13.1. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНО-
СТИ. Пусть
r
r
= ),(
v
u
r
r
, D∈),(
v
u
2
E⊆
, регулярная поверхность класса
3
C
и
r
r
=
)(
s
r
r
=
))(),((
s
v
s
u
r
r
линия на поверхности в естественной пара-
метризации. Для линии )(
s
r
r
определены линейно независимые векторы
r
t
&
r
r
=
– единичный вектор касательной,
vu
vu
rr
rr
n
rr
r
r
r
×
×
=
– единичный вектор
нормали к поверхности и вектор
t
nb
r
r
r
×
=
. Вектор
2
2
ds
rd
r
r
&&
r
=
разлагается по
векторам
bnt
r
r
r
,, :
bcnb
t
a
r
r
r
r
&&
r
+
+
= .
Коэффициент
b
при векторе
n
r
равен
n
knrb ==
r
&&
r
и называется нормальной кривизной линии
)(
s
r
r
на поверхности. Коэффи-
циент
c при векторе
b
называется геодезической кривизной линии )(
s
r
r
на поверхности. Если
0
n
r
единичный вектор главной нормали кривой
)(
s
r
r
и
k
кривизна кривой, то геодезическая кривизна линии
)(
s
r
r
вычисляется
как смешанное произведение векторов
ntnkk
g
r
r
r
0
=
.
Если
)(),(
t
vv
t
uu
=
= произвольная параметризация линии )(
t
r
r
на по-
верхности
),(
v
u
r
r
, то имеем следующую формулу для вычисления геоде-
зической кривизны линии
22
2
2 vGvuFuE
FEG
k
g
′
+
′′
+
′
−
=
vvvuuu
′′
Γ+
′′
Γ+
′
Γ+
′′
)((
21
22
1
12
21
11
–
–
))(
22
22
2
12
22
11
uvvuuv
′′
Γ+
′′
Γ+
′
Γ+
′′
.
Символы Кристоффеля
k
ij
Γ
выражаются только через коэффициенты пер-
вой квадратичной формы поверхности и их производные, п. 12.1, следова-
тельно, имеет место
13.1.1. ТЕОРЕМА. Геодезическая кривизна линий на поверхности яв-
ляется объектом внутренней геометрии поверхности. 
                 § 13. Геодезическая кривизна поверхности.

    13.1. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА ЛИНИИ НА ПОВЕРХНО-
            r  r
СТИ. Пусть r = r (u , v) , (u , v) ∈ D ⊆ E 2 , регулярная поверхность класса
      r r            r
C 3 и r = r (s ) = r (u ( s), v( s)) линия на поверхности в естественной пара-
                              r
метризации. Для линии r ( s ) определены линейно независимые векторы
                                                           r r
r r&                                                 r ru × rv
t = r – единичный вектор касательной, n = r r – единичный вектор
                                                           ru × rv
                                                                          r
                                           r r r                   r& d 2 r
                                                                   &
нормали к поверхности и вектор b = n × t . Вектор r = 2 разлагается по
                                                                      ds
          r r r
векторам t , n , b :
                                                        r
                                   &rr& = atr + bnr + cb .
                                     r
Коэффициент b при векторе n равен
                                              rr
                                         b = &r&n = k n
                                                         r
и называется нормальной кривизной линии r (s ) на поверхности. Коэффи-
                         r                                                  r
циент c при векторе b называется геодезической кривизной линии r ( s )
                          r                                                 r
на поверхности. Если n 0 единичный вектор главной нормали кривой r ( s )
                                                                         r
и k кривизна кривой, то геодезическая кривизна линии r ( s ) вычисляется
как смешанное произведение векторов
                                              r rr
                                       k g = kn 0 t n .
                                                                                      r
Если u = u (t ), v = v(t ) произвольная параметризация линии r (t ) на по-
           r
верхности r (u , v) , то имеем следующую формулу для вычисления геоде-
зической кривизны линии
               EG − F 2
kg =                               ((u ′′ + Γ11
                                             1
                                               u ′ 2 + Γ12
                                                        1
                                                           u ′v′ + Γ22
                                                                    1
                                                                       v ′ 2 )v ′ –
       Eu ′ + 2 Fu ′v′ + Gv′
           2                   2

                                                   – (v′′ + Γ112 u ′ 2 + Γ122 u ′v′ + Γ22
                                                                                       2
                                                                                          v′ 2 )u ′) .
Символы Кристоффеля Γijk выражаются только через коэффициенты пер-
вой квадратичной формы поверхности и их производные, п. 12.1, следова-
тельно, имеет место
     13.1.1. ТЕОРЕМА. Геодезическая кривизна линий на поверхности яв-
ляется объектом внутренней геометрии поверхности.




                                              74

Страницы