Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 75 стр.

      13.2. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. Линия на поверхности называ-
ется геодезической, если геодезическая кривизна этой линии в каждой ее
точке равна нулю: k g =0. Выполняются следующие утверждения.
      13.2.1. ТЕОРЕМА. Кривая на поверхности является геодезической,
если и только если ее главная нормаль в каждой точке, где кривизна от-
лична от нуля, совпадает с нормалью к поверхности.
      13.2.2. ТЕОРЕМА. Через любую точку регулярной поверхности в лю-
бом направлении проходит геодезическая и только одна.
      13.2.3. ТЕОРЕМА. Геодезические на поверхности обладают экстре-
мальным свойством; если A и B две точки на поверхности, то длина гео-
дезической не больше, чем длина всякой линии на поверхности, проходящей
через точки A и B .
      Геодезическая на поверхности определяется уравнением k g = 0, зна-
чение k g выписано в предыдущем п. 13.1. Геодезическая кривизна линий
на поверхности выражена через коэффициенты первой квадратичной фор-
мы поверхности и через символы Кристоффеля. Поэтому геодезические
являются объектом внутренней геометрии поверхности.
      На регулярной поверхности могут быть введены полугеодезические
координаты – координатные линии одного семейства являются геодезиче-
скими, а линии другого семейства являются ортогональными траекториями
к геодезическим, но не геодезические.




                                  75