Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 77 стр.

дой компоненты x i , i = 1, n , указана пара чисел a i , b i , a i < b i , что
a i < x i < bi .
      Подмножество U α из T , содержащее точку A из X , называется ок-
рестностью точки A . Множество U является окрестностью каждой своей
точки, если и только если оно открыто. Семейство B из T называется ба-
зой     топологии T , если для всякого A ∈ X существует B A , что
 A ∈ B A ⊆ U α . Всякое множество из T является объединением множеств
из базы. Пространство ( X, T ) называется пространством со счетной ба-
зой, если оно обладает хотя бы одной базой, состоящей из не более чем
счетного подмножества множеств X .
      Пространство X называется хаусдорфовым, если для любых двух
точек A, B из X в X существуют окрестности U A и U B , что U A ∩ U B =
∅.

     Множество X называется метрическим пространством, если су-
ществует отображение ρ : X × X → R + пар точек из X во множество не-
отрицательных действительных чисел R + , удовлетворяющее условиям
(а) ρ ( A, B ) = 0 , если и только если A = B ;
(б) ρ ( A, B) = ρ ( B, A) ;
(в) ρ ( A, B) + ρ ( B, C ) ≥ ρ ( A, C ) .
        Это определение евклидова метрического пространства, см. п. 7.2.
Точнее, под метрическим пространством понимается пара ( X, ρ ) .
        Неотрицательное число, соответствующее паре точек A, B , называ-
ется расстоянием между точками A и B . Разные отображения ρ опре-
деляют на X различные метрические пространства.
        Примеры метрических пространств.
1. Во всяком множестве
 ρ ( A, B) =1, если A ≠ B ; ρ ( A, B) = 0, если A = B .
2. Во множестве R n кортежей действительных чисел, A = (a1 , a 2 ,..., a n ) ,
B = (b1 , b 2 ,..., b n ) ; ρ ( A, B) =
                                 (b1 − a1 ) 2 + (b 2 − a 2 ) 2 + ... + (b n − a n ) 2 .
     Открытым шаром в метрическом пространстве X с центром в точ-
ке A и радиусом r называется множество точек M , удовлетворяющих
условию ρ ( A, M ) < r . Для метрического пространства X можно рассмат-
ривать множество R всех открытых шаров с центрами во всех точках и
произвольными радиусами и пересечения и объединения этих шаров. По-
лучаем топологическое пространство ( X, R ) .




                                          77