Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

79
На классе топологических пространств, где определены гомеоморф-
ные отображения, отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично
и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Элементы фак-
тор-множества по отношению гомеоморфности называются топологиче-
скими типами. Топология изучает свойства топологических пространств,
инвариантных в гомеоморфизмах.
Гомеоморфны:
(а) открытый отрезок и прямая;
(б) отрезок с концами
B
A
, и полуокружность с концами
D
C
, ;
(в) луч и полуоткрытый интервал;
(г) открытый круг и открытый параллелограмм;
(д) открытый круг и плоскость;
(е) полусфера без границы и открытый круг
и т.д.
14.3. ОТДЕЛИМОСТЬ. КОМПАКТНОСТЬ. СВЯЗНОСТЬ. Хаус-
дорфово топологическое пространство, п. 7.1, называется еще отделимым.
Отделимы, например, все метрические пространства; аффинное простран-
ство; пространство с дискретной
топологией, содержащее не менее двух
точек. Неотделимо пространство с антидискретной топологией, содержа-
щее не двух точек.
Семейство
}{
α
U подмножеств множества X называется покрытием
множества
X
, если
X
U
α
U⊆
. Покрытие
}{
α
U
называется открытым,
если все множества семейства
}{
α
U
открыты. Подпокрытием покрытия
}{
α
U
называется такое подсемейство, которое само является покрытием.
Топологическое пространство
),(
T
X
называется компактным, если
каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Множе-
ство
A
пространства ),(
T
X называется компактным, если подпростран-
ство
A
компактно. Компактны: отрезок, окружность, сфера. Некомпактны:
плоскость, 3-мерное пространство и т.д. Выполняется критерий: подмно-
жество
A
в евклидовом пространстве компактно, если и только если оно
замкнуто и ограничено. Например, открытый шар некомпактен – он огра-
ничен но не замкнут.
Покрытие множества
X
называется его разбиением, если элементы
покрытия непустые множества и всякие два элемента покрытия имеют пус-
тое пересечение. Топологическое пространство
),(
T
X
называется связ-
ным, если не существует его разбиения на два открытых множества. Связ-
ны: прямая, окружность, плоскость. Несвязна гипербола. 
       На классе топологических пространств, где определены гомеоморф-
ные отображения, отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично
и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Элементы фак-
тор-множества по отношению гомеоморфности называются топологиче-
скими типами. Топология изучает свойства топологических пространств,
инвариантных в гомеоморфизмах.
       Гомеоморфны:
(а) открытый отрезок и прямая;
(б) отрезок с концами A, B и полуокружность с концами C , D ;
(в) луч и полуоткрытый интервал;
(г) открытый круг и открытый параллелограмм;
(д) открытый круг и плоскость;
(е) полусфера без границы и открытый круг
и т.д.

      14.3. ОТДЕЛИМОСТЬ. КОМПАКТНОСТЬ. СВЯЗНОСТЬ. Хаус-
дорфово топологическое пространство, п. 7.1, называется еще отделимым.
Отделимы, например, все метрические пространства; аффинное простран-
ство; пространство с дискретной топологией, содержащее не менее двух
точек. Неотделимо пространство с антидискретной топологией, содержа-
щее не двух точек.
      Семейство {U α } подмножеств множества X называется покрытием
множества X , если X ⊆ UU α . Покрытие {U α } называется открытым,
если все множества семейства {U α } открыты. Подпокрытием покрытия
{U α } называется такое подсемейство, которое само является покрытием.
       Топологическое пространство ( X, T ) называется компактным, если
каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие. Множе-
ство A пространства ( X, T ) называется компактным, если подпростран-
ство A компактно. Компактны: отрезок, окружность, сфера. Некомпактны:
плоскость, 3-мерное пространство и т.д. Выполняется критерий: подмно-
жество A в евклидовом пространстве компактно, если и только если оно
замкнуто и ограничено. Например, открытый шар некомпактен – он огра-
ничен но не замкнут.
       Покрытие множества X называется его разбиением, если элементы
покрытия непустые множества и всякие два элемента покрытия имеют пус-
тое пересечение. Топологическое пространство ( X, T ) называется связ-
ным, если не существует его разбиения на два открытых множества. Связ-
ны: прямая, окружность, плоскость. Несвязна гипербола.




                                  79

Страницы