Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 78 стр.

      Понятия метрического пространства и топологического пространства
независимы.
      В аффинном пространстве не введено расстояние между точками,
поэтому оно не является метрическим. Открытыми множествами в аффин-
ном пространстве считаются открытые параллелепипеды. Поэтому аффин-
ное пространство является топологическим пространством, не являясь
метрическим.
      Точка B называется внешней точкой подмножества V из X , если
существует окрестность точки B , не содержащая точек из V . Точка B на-
зывается граничной точкой подмножества V , если существует окрест-
ность точки B , содержащая как внутренние точки множества V , так и
внешние точки множества V . Объединение всех граничных точек множе-
ства V называется его границей и обозначается ∂V . Замыканием множе-
ства V называется объединение V ∪ ∂V = V .
      Множество V называется ограниченным, если существует откры-
тый шар, содержащий множество V .
      Топологическое пространство метризуемо, если в нем можно ввести
метрику. Семейство открытых множеств T обычно состоит из открытых
шаров. Возможно, что семейство T открытых множеств топологического
пространства состоит из открытых параллелепипедов. Это естественная
топология.

       14.2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГОМЕОМОРФИЗМ. Непрерывные
отображения множеств рассмотрены ранее, в п. 7.1. Напомним основные
понятия.
       Пусть ( X, T ) и (Y, S ) топологические пространства. Отображение
 f : X → Y называется непрерывным в точке x ∈ X , если для любой ок-
рестности V точки f ( x) в Y существует окрестность U точки x в X ,
что f (U ) ⊆ V . Отображение f непрерывно, если оно непрерывно в каж-
дой точке x ∈ X . Выполняется следующий критерий: отображение f
топологического пространства ( X, T ) в топологическое пространство
(Y, S ) непрерывно, если и только если прообраз любого открытого мно-
жества из Y является открытым в X .
       Отображение f : X → Y называется гомеоморфным или тополо-
гическим, если оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно, т.е. f и
 f −1 однозначны и непрерывны. Если f гомеоморфизм, то топологические
пространства ( X, T ) и (Y, S ) называются гомеоморфными; обозначение:
X∼Y.




                                  78